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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1
    Bild

    Gegeben sind rechtwinklige Dreiecke ABnMAB_nM mit AM=4 cm\overline{AM}=4~\text{cm} und den Hypotenusen [ABn][AB_n].

    Die Winkel BnAMB_nAM haben das Maß φ\varphi mit φ]30;90[\varphi\in]30^\circ;90^\circ[.

    Der Kreis kk mit dem Mittelpunkt MM und dem Radius r=MC=2 cmr=\overline{MC}=2~\text{cm} schneidet die Seite [AM][AM] im Punkt DD und die Seiten [BnM][B_nM] im Punkt CC.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Berechnen Sie die Länge der Seite [AB1][AB_1] für φ=54\varphi=54^\circ.

    2. Die Figuren ABnCDAB_nCD, die durch die Strecken [AD], [ABn][AD],~[AB_n] und [BnC][B_nC] sowie durch den Kreisbogen DC\overset{\frown}{DC} begrenzt wird, rotieren um die Gerade AMAM.

      Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen VV der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ\varphi gilt: V(φ)=163π(4tan2(φ)1) cm3V(\varphi)=\frac{16}{3}\cdot\pi\cdot(4\cdot\tan^2(\varphi)-1)~\text{cm}^3

    3. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für φ=54\varphi=54^\circ

  2. 2

    Punkte An(2sin(φ)43sin(φ)1)A_n(2\cdot\sin(\varphi)-4|3\cdot\sin(\varphi)-1) mit φ[0;90]\varphi\in[0^\circ;90^\circ] legen zusammen mit den Punkten B(23)B(-2|-3) und D(23)D(2|3) Parallelogramme AnBCnDA_nBC_nD fest.

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    1. In das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ist das Parallelogramm A1BC1DA_1BC_1D für φ=0\varphi=0^\circ eingezeichnet.

      Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A2A_2 für φ=90\varphi=90^\circ und zeichnen Sie sodann das Parallelogramm A2B2C2DA_2B_2C_2D ein.

    2. Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Trägergraphen tt der Punkt AnA_n gilt:

      y=32x+5(G=R×R)y=\frac32x+5\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

      Zeichnen Sie den Trägergraphen tt in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

    3. Begründen Sie, dass die Flächeninhalte AA aller Parallelogramme AnBCnDA_nBC_nD maßgleich sind.

  3. 3

    Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit der Gleichung y=log2(x+2)+1(G=R×R)y=\log_2(x+2)+1 \quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    1. Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion f1f_1 an.

    2. Bestimmen Sie die nach yy aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu f1f_1.

    3. Der Graph der Funktion f2f_2 hat eine Gleichung der Form y=log2(x+a)+3(G=R×R; aR)y=\log_2(-x+a)+3\quad (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};~a\in\mathbb{R}) und schneidet den Graphen der Funktion f1f_1 auf der yy-Achse.

      Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für aa.


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