Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben sind rechtwinklige Dreiecke $AB_nM$ mit $\overline{AM}=4~\text{cm}$ und den Hypotenusen $[AB_n]$ .

Die Winkel $B_nAM$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]30^\circ;90^\circ[$ .

Der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r=\overline{MC}=2~\text{cm}$ schneidet die Seite $[AM]$ im Punkt $D$ und die Seiten $[B_nM]$ im Punkt $C$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Länge der Seite $[AB_1]$ für $\varphi=54^\circ$ .

Die Figuren $AB_nCD$ , die durch die Strecken $[AD],~[AB_n]$ und $[B_nC]$ sowie durch den Kreisbogen $\overset{\frown}{DC}$ begrenzt wird, rotieren um die Gerade $AM$ .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\frac{16}{3}\cdot\pi\cdot(4\cdot\tan^2(\varphi)-1)~\text{cm}^3$

Lösung zu Teilaufgabe b
Du beginnst mit der Berechnung des Volumens des Rotationskörpers, welcher vom linksstehenden Dreieck $AB_nM$ erzeugt wird. Danach subtrahierst du das Volumen der Halbkugel, welches durch den Kreisbogen $\overset{\frown}{DC}$ erzeugt wird.
Der Körper, erzeugt vom Dreieck $AB_nM$ , ist ein Kegel mit der Spitze $A$ , Radius $r=\overline{B_nM}$ und Höhe $h=\overline{AM}$ . Die Länge $\overline{B_nM}$ berechnest du mittels der Tangensbeziehung
Setzt du nun den Wert $\overline{AM}=4\,\mathrm{cm}$ aus der Aufgabenstellung ein und löst nach $\overline{B_nM}$ auf, erhältst du
Erinnere dich an die Volumenformeln für Kegel
und Halbkugel
wobei du den Wert für $\overline{MC}$ einfach der Aufgabenstellung entnimmst. Jetzt hast du alles zusammengetragen, um das gesuchte Volumen zu berechnen:
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Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für $\varphi=54^\circ$

Lösung zu Teilaufgabe c
In der vorigen Teilaufgabe (b) hast du bereits das Volumen
berechnet.
Setzt du nun $\varphi=54°$ in diese Formel ein, erhältst du
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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Punkte $A_n(2\cdot\sin(\varphi)-4|3\cdot\sin(\varphi)-1)$ mit $\varphi\in[0^\circ;90^\circ]$ legen zusammen mit den Punkten $B(-2|-3)$ und $D(2|3)$ Parallelogramme $A_nBC_nD$ fest.

In das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ist das Parallelogramm $A_1BC_1D$ für $\varphi=0^\circ$ eingezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $A_2$ für $\varphi=90^\circ$ und zeichnen Sie sodann das Parallelogramm $A_2B_2C_2D$ ein.

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.
Das konstruierte Parallelogramm
Um den Punkt $A_2$ zu berechnen, setzt du den Wert $\varphi=90°$ in $A_n(2 \cdot \sin \varphi-4|3\cdot \sin \varphi-1)$ ein und erinnerst dich, dass $\sin 90°=1$ gilt. Damit erhältst du $A_2 (-2|2)$ .
Nun kannst du den Punkt $A_2$ sowie die Verbindungsgeraden $[A_2B]$ und $[A_2D]$ in das Koordinatensystem eintragen.
Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke $[A_2B]$ durch den Punkt $D$ und eine Parallele zu $[A_2D]$ durch den Punkt $B$ . Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt $C_2$ und somit auch das Parallelogramm $A_2BC_2D$ .
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Trägergraphen $t$ der Punkt $A_n$ gilt:

$y=\frac32x+5\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Zeichnen Sie den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Begründen Sie, dass die Flächeninhalte $A$ aller Parallelogramme $A_nBC_nD$ maßgleich sind.

Lösung zu Teilaufgabe c

Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor $0{,}5$ fällt weg.

Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks $A_nBD$ . Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren:

$\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}2-(-2)\\3-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ und

$\displaystyle \overrightarrow{BA_n}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-4-(-2)\\3\cdot\sin(\varphi)-1-(-3)\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-2\\3\cdot\sin(\varphi)+2\end{pmatrix}$

Nach der Determinantenformel gilt

$\displaystyle A_{\triangle A_nBD}$	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot\left\|\overrightarrow{BD}\,\overrightarrow{BA_n}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot\begin{vmatrix}4& 2\cdot\sin(\varphi)-2\\6&3\cdot\sin(\varphi)+2\end{vmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left[4\cdot (3\cdot \sin (\varphi )+2)-6\cdot (2\cdot \sin (\varphi )-2)\right]$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left[12\cdot\sin(\varphi)+8-12\cdot\sin(\varphi)+12\right]=10\,\mathrm{(FE).}$

Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms $A_nBC_nD$ das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:

\displaystyle A_{A_nBC_nD}=2\cdot A_{\triangle{A_nBD}}=20\,\mathrm{(FE).}

Da dieses Ergebnis unabhängig von $\varphi$ ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramme konstant bleibt.

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Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=\log_2(x+2)+1 \quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion $f_1$ an.

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.
Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion $f_1: y=\log_2(x+2)+1$ . Der Logarithmus ist nur definiert, wenn der Ausdruck $(x+2)$ positiv ist. Damit $x+2>0$ erfüllt ist, muss folglich $x>-2$ gelten. Der Definitionsbereich ist also durch $\mathbb{D}=]-2,\infty[$ gegeben.
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Bestimmen Sie die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_1$ .

Der Graph der Funktion $f_2$ hat eine Gleichung der Form $y=\log_2(-x+a)+3\quad (\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};~a\in\mathbb{R})$ und schneidet den Graphen der Funktion $f_1$ auf der $y$ -Achse.

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $a$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \displaystyle\cos(\varphi)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{AB_1}}$	$\displaystyle \cdot \overline{AB_1}$
$\displaystyle \cos (\varphi )\cdot \overline{AB_1}$	$=$	$\displaystyle \overline{AM}$	$\displaystyle :\cos (\varphi )$
$\displaystyle \displaystyle\overline{AB_1}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\cos (\varphi )}$

$\displaystyle t(-4)$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze die Definition von $t$ ein.
$\displaystyle -4\cdot m+c$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze den Wert für $m$ ein.
$\displaystyle \displaystyle -4\cdot\frac 32+c$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle -6+c$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +6$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 5$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log _2(y+2)+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x-1$	$=$	$\displaystyle \log _2(y+2)$	$\displaystyle 2^{(\cdot )}$
	↓	Du rechnest $2^{(\cdot)}$ , da $2^x$ die Umkehrfunktion von $\log_2(x)$ ist.
$\displaystyle 2^{x-1}$	$=$	$\displaystyle y+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle 2^{x-1}-2$	$=$	$\displaystyle y$

$\displaystyle \log _2(0+2)+1$	$=$	$\displaystyle \log _2(-0+a)+3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \log _2(2)+1$	$=$	$\displaystyle \log _2(a)+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle \log _2(2)+1-3$	$=$	$\displaystyle \log _2(a)$	$\displaystyle 2^{(\cdot )}$
$\displaystyle 2^{\log _2(2)-2}$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	$\log _2(2)=1$
$\displaystyle 2^{1-2}$	$=$	$\displaystyle a$
$\displaystyle 2^{-1}$	$=$	$\displaystyle a$

Teil A

Lösung zu Teilaufgabe a

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