Teil A - lernen mit Serlo!

Punkte $A_n(2\cdot\sin(\varphi)-4|3\cdot\sin(\varphi)-1)$ mit $\varphi\in[0^\circ;90^\circ]$ legen zusammen mit den Punkten $B (- 2 ∣ - 3)$ und $D (2 ∣ 3)$ Parallelogramme $A_{n} B C_{n} D$ fest.

In das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ist das Parallelogramm $A_{1} B C_{1} D$ für $\varphi=0^\circ$ eingezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $A_{2}$ für $\varphi=90^\circ$ und zeichnen Sie sodann das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D$ ein.

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.
Um den Punkt $A_{2}$ zu berechnen, setzt du den Wert $\varphi=90°$ in $A_n(2 \cdot \sin \varphi-4|3\cdot \sin \varphi-1)$ ein und erinnerst dich, dass $\sin 90°=1$ gilt. Damit erhältst du $A_{2} (- 2 ∣ 2)$ .
Nun kannst du den Punkt $A_{2}$ sowie die Verbindungsgeraden $[A_{2} B]$ und $[A_{2} D]$ in das Koordinatensystem eintragen.
Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke $[A_{2} B]$ durch den Punkt $D$ und eine Parallele zu $[A_{2} D]$ durch den Punkt $B$ . Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt $C_{2}$ und somit auch das Parallelogramm $A_{2} B C_{2} D$ .
Das konstruierte Parallelogramm
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Trägergraphen $t$ der Punkt $A_{n}$ gilt:

$y=\frac32x+5\quad(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Zeichnen Sie den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Begründen Sie, dass die Flächeninhalte $A$ aller Parallelogramme $A_{n} B C_{n} D$ maßgleich sind.

Lösung zu Teilaufgabe c

Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor $0,5$ fällt weg.

Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks $A_{n} B D$ . Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren:

$\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}2-(-2)\\3-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ und

$\displaystyle \overrightarrow{BA_n}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-4-(-2)\\3\cdot\sin(\varphi)-1-(-3)\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-2\\3\cdot\sin(\varphi)+2\end{pmatrix}$

Nach der Determinantenformel gilt

$\displaystyle A_{\triangle A_nBD}$	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot\left\|\overrightarrow{BD}\,\overrightarrow{BA_n}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot\begin{vmatrix}4& 2\cdot\sin(\varphi)-2\\6&3\cdot\sin(\varphi)+2\end{vmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left[4\cdot (3\cdot \sin (\varphi )+2)-6\cdot (2\cdot \sin (\varphi )-2)\right]$
	$=$	$\displaystyle \frac12\left[12\cdot\sin(\varphi)+8-12\cdot\sin(\varphi)+12\right]=10\,\mathrm{(FE).}$

Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{n} B C_{n} D$ das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:

\displaystyle A_{A_nBC_nD}=2\cdot A_{\triangle{A_nBD}}=20\,\mathrm{(FE).}

Da dieses Ergebnis unabhängig von $\varphi$ ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramme konstant bleibt.

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$\displaystyle t(-4)$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze die Definition von $t$ ein.
$\displaystyle -4\cdot m+c$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Setze den Wert für $m$ ein.
$\displaystyle \displaystyle -4\cdot\frac 32+c$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle -6+c$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle +6$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 5$

Lösung zu Teilaufgabe a

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Lösung zu Teilaufgabe b

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Lösung zu Teilaufgabe c

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