Teil A - lernen mit Serlo!

Punkte $A_{n} (2 \cdot \sin (φ) - 4 | 3 \cdot \sin (φ) - 1)$ mit $φ \in [0^{\circ}; 90^{\circ}]$ legen zusammen mit den Punkten $B (- 2 | - 3)$ und $D (2 | 3)$ Parallelogramme $A_{n} B C_{n} D$ fest.

In das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ist das Parallelogramm $A_{1} B C_{1} D$ für $φ = 0^{\circ}$ eingezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $A_{2}$ für $φ = 90^{\circ}$ und zeichnen Sie sodann das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D$ ein.

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.
Um den Punkt $A_{2}$ zu berechnen, setzt du den Wert $φ = 90 °$ in $A_{n} (2 \cdot \sin φ - 4 | 3 \cdot \sin φ - 1)$ ein und erinnerst dich, dass $\sin 90 ° = 1$ gilt. Damit erhältst du $A_{2} (- 2 | 2)$ .
Nun kannst du den Punkt $A_{2}$ sowie die Verbindungsgeraden $[A_{2} B]$ und $[A_{2} D]$ in das Koordinatensystem eintragen.
Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke $[A_{2} B]$ durch den Punkt $D$ und eine Parallele zu $[A_{2} D]$ durch den Punkt $B$ . Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt $C_{2}$ und somit auch das Parallelogramm $A_{2} B C_{2} D$ .
Das konstruierte Parallelogramm
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Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Trägergraphen $t$ der Punkt $A_{n}$ gilt:
$y = \frac{3}{2} x + 5 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Zeichnen Sie den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zu Teilaufgabe b
In dieser Aufgabe benutzt du Konzepte aus dem Artikel Geradengleichung.
Gegeben sind die zwei Punkte $A_{2} (- 2 | 2)$ und $A_{1} (- 4 | - 1)$ . Du berechnest zunächst die Steigung $m$ des Trägergraphen $t$ . Dies machst du mit dem Steigungsdreieck:
$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{A_{2}} - y_{A_{1}}}{x_{A_{2}} - x_{A_{1}}} = \frac{2 - (- 1)}{- 2 - (- 4)} = \frac{3}{2}$
Für den $y$ -Achsenabschnitt $c$ setzt du den Punkt $A_{1}$ in die Geradengleichung $t (x) = m \cdot x + c$ ein und berechnest:
$t (- 4)$ $=$ $- 1$
↓
Setze die Definition von $t$ ein.
$- 4 \cdot m + c$ $=$ $- 1$
↓
Setze den Wert für $m$ ein.
$- 4 \cdot \frac{3}{2} + c$ $=$ $- 1$
↓
Vereinfache.
$- 6 + c$ $=$ $- 1$ $+ 6$
↓
Löse nach $c$ auf.
$c$ $=$ $5$
Zusammenfassend hast du die Geradengleichung des Trägergraphes bestimmt:
$t (x) = \frac{3}{2} \cdot x + 5.$
Für die Skizze des Trägergraphens $t$ kannst du nochmal in die Lösung zu Teilaufgabe (a) schauen.
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Begründen Sie, dass die Flächeninhalte $A$ aller Parallelogramme $A_{n} B C_{n} D$ maßgleich sind.

Lösung zu Teilaufgabe c
Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor $0,5$ fällt weg.
Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks $A_{n} B D$ . Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren:
$\vec{B D} = (\begin{array}{c} 2 - (- 2) \\ 3 - (- 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array})$ und
$\vec{B A_{n}}$ $=$ $(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 4 - (- 2) \\ 3 \cdot \sin (φ) - 1 - (- 3) \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array})$
Nach der Determinantenformel gilt
$A_{△ A_{n} B D}$ $=$ $\frac{1}{2} \cdot | \vec{B D} \vec{B A_{n}} |$
$=$ $\frac{1}{2} \cdot | \begin{array}{cc} 4 & 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 6 & 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array} |$
$=$ $\frac{1}{2} [4 \cdot (3 \cdot \sin (φ) + 2) - 6 \cdot (2 \cdot \sin (φ) - 2)]$
$=$ $\frac{1}{2} [12 \cdot \sin (φ) + 8 - 12 \cdot \sin (φ) + 12] = 10 (F E) .$
Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{n} B C_{n} D$ das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:
$A_{A_{n} B C_{n} D} = 2 \cdot A_{△ A_{n} B D} = 20 (F E) .$
Da dieses Ergebnis unabhängig von $φ$ ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramme konstant bleibt.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$t (- 4)$	$=$	$- 1$
	↓	Setze die Definition von $t$ ein.
$- 4 \cdot m + c$	$=$	$- 1$
	↓	Setze den Wert für $m$ ein.
$- 4 \cdot \frac{3}{2} + c$	$=$	$- 1$
	↓	Vereinfache.
$- 6 + c$	$=$	$- 1$	$+ 6$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$c$	$=$	$5$

$\vec{B A_{n}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 4 - (- 2) \\ 3 \cdot \sin (φ) - 1 - (- 3) \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array})$

$A_{△ A_{n} B D}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| \vec{B D} \vec{B A_{n}} \|$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| \begin{array}{cc} 4 & 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 6 & 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array} \|$
	$=$	$\frac{1}{2} [4 \cdot (3 \cdot \sin (φ) + 2) - 6 \cdot (2 \cdot \sin (φ) - 2)]$
	$=$	$\frac{1}{2} [12 \cdot \sin (φ) + 8 - 12 \cdot \sin (φ) + 12] = 10 (F E) .$

Lösung zu Teilaufgabe a

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Lösung zu Teilaufgabe b

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Lösung zu Teilaufgabe c

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