Teil A - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = \log_{2} (x + 2) + 1 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion $f_{1}$ an.

Lösung zu Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.
Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion $f_{1} : y = \log_{2} (x + 2) + 1$ . Der Logarithmus ist nur definiert, wenn der Ausdruck $(x + 2)$ positiv ist. Damit $x + 2 > 0$ erfüllt ist, muss folglich $x > - 2$ gelten. Der Definitionsbereich ist also durch $𝔻 =] - 2, \infty [$ gegeben.
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Bestimmen Sie die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_{1}$ .
Lösung zu Teilaufgabe b
Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.
Um die Umkehrfunktion zu $f_{1}$ zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:
Zunächst vertauschst du $x$ und $y$ in der Funktionsgleichung.
Anschließend löst du die Gleichung $x = \log_{2} (y + 2) + 1$ nach $y$ auf:
$x$ $=$ $\log_{2} (y + 2) + 1$ $- 1$
$x - 1$ $=$ $\log_{2} (y + 2)$ $2^{(\cdot)}$
↓
Du rechnest $2^{(\cdot)}$ , da $2^{x}$ die Umkehrfunktion von $\log_{2} (x)$ ist.
$2^{x - 1}$ $=$ $y + 2$ $- 2$
$2^{x - 1} - 2$ $=$ $y$
Es gilt also $y = 2^{x - 1} - 2$ .
Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von $f_{1}$ durch $f_{1}^{- 1} : y = 2^{x - 1} - 2$ gegeben ist.
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Der Graph der Funktion $f_{2}$ hat eine Gleichung der Form $y = \log_{2} (- x + a) + 3 (𝔾 = ℝ \times ℝ; a \in ℝ)$ und schneidet den Graphen der Funktion $f_{1}$ auf der $y$ -Achse.
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $a$ .

Lösung zu Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.
Du weißt, dass der Graph der Funktion $f_{2}$ eine Gleichung der Form $y = \log_{2} (- x + a) + 3$ hat und den Graphen der Funktion $f_{1}$ auf der $y$ -Achse schneidet.
Da die Graphen sich auf der $y$ -Achse schneiden, sind für $x = 0$ die $y$ -Werte der Funktionsgleichungen von $f_{1}$ und $f_{2}$ gleich:
$f_{1} (0) = f_{2} (0)$ .
Einsetzen der Funktionsgleichungen von $f_{1}$ und $f_{2}$ liefert:
$\log_{2} (0 + 2) + 1 = \log_{2} (- 0 + a) + 3$ .
Diese Gleichung löst du nun nach $a$ auf:
$\log_{2} (0 + 2) + 1$ $=$ $\log_{2} (- 0 + a) + 3$
↓
Vereinfache.
$\log_{2} (2) + 1$ $=$ $\log_{2} (a) + 3$ $- 3$
$\log_{2} (2) + 1 - 3$ $=$ $\log_{2} (a)$ $2^{(\cdot)}$
$2^{\log_{2} (2) - 2}$ $=$ $a$
↓
$\log_{2} (2) = 1$
$2^{1 - 2}$ $=$ $a$
$2^{- 1}$ $=$ $a$
und erhältst $a = 2^{- 1} = 0,5$ .
Folglich ist die Lösungsmenge durch $𝕃 = {0,5}$ gegeben und die Funktionsgleichung von $f_{2}$ lautet $f_{2} : y = \log_{2} (- x + 0,5) + 3$ .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$x$	$=$	$\log_{2} (y + 2) + 1$	$- 1$
$x - 1$	$=$	$\log_{2} (y + 2)$	$2^{(\cdot)}$
	↓	Du rechnest $2^{(\cdot)}$ , da $2^{x}$ die Umkehrfunktion von $\log_{2} (x)$ ist.
$2^{x - 1}$	$=$	$y + 2$	$- 2$
$2^{x - 1} - 2$	$=$	$y$

$\log_{2} (0 + 2) + 1$	$=$	$\log_{2} (- 0 + a) + 3$
	↓	Vereinfache.
$\log_{2} (2) + 1$	$=$	$\log_{2} (a) + 3$	$- 3$
$\log_{2} (2) + 1 - 3$	$=$	$\log_{2} (a)$	$2^{(\cdot)}$
$2^{\log_{2} (2) - 2}$	$=$	$a$
	↓	$\log_{2} (2) = 1$
$2^{1 - 2}$	$=$	$a$
$2^{- 1}$	$=$	$a$

Lösung zu Teilaufgabe a

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Lösung zu Teilaufgabe b

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Lösung zu Teilaufgabe c

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