Lösung zu Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.

Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion $f_1: y=\log_2(x+2)+1$. Der Logarithmus ist nur definiert, wenn der Ausdruck $(x+2)$ positiv ist. Damit $x+2>0$ erfüllt ist, muss folglich $x>-2$ gelten. Der Definitionsbereich ist also durch $\mathbb{D}=]-2,\infty[$ gegeben.

Lösung zu Teilaufgabe b

Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.

Um die Umkehrfunktion zu $f_1$ zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

1. Zunächst vertauschst du $x$ und $y$ in der Funktionsgleichung.

2. Anschließend löst du die Gleichung $x=\log_2(y+2)+1$ nach $y$ auf:

Es gilt also $y=2^{x-1}-2$.

Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von $f_1$ durch $f_1^{-1}: y=2^{x-1}-2\,$ gegeben ist.

Lösung zu Teilaufgabe c

In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.

Du weißt, dass der Graph der Funktion $f_2$ eine Gleichung der Form $y=\log_2(-x+a)+3$ hat und den Graphen der Funktion $f_1$ auf der $y$-Achse schneidet.

Da die Graphen sich auf der $y$-Achse schneiden, sind für $x=0$ die $y\,$-Werte der Funktionsgleichungen von $f_1$ und $f_2$ gleich:

$f_1(0)=f_2(0)$.

Einsetzen der Funktionsgleichungen von $f_1$ und $f_2$ liefert:

$\log_2(0+2)+1=\log_2(-0+a)+3$.

Diese Gleichung löst du nun nach $a$ auf:

und erhältst $a=2^{-1}=0{,}5$.

Folglich ist die Lösungsmenge durch $\mathbb{L}={\{0{,}5\}}$ gegeben und die Funktionsgleichung von $f_2$ lautet $f_2: y=\log_2(-x+0{,}5)+3$.

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.