Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen
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Bestimme - falls möglich - die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme
Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.
Wähle die Variable und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von :
Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes den Koeffizienten 5 hat.
Dann addierst du zu und zu .
Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus und besteht.
Dazu wählst du die Variable und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:
Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:
Subtrahiere von , um zu eliminieren.
Nun löst du nach auf und setzt seinen Wert in ein.
Nun setzt du die beiden Werte in ein und löst nach auf.
Insgesamt erhältst du die Lösungsmenge
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme
Das gegebene Gleichungssystem lässt sich mit dem Additionsverfahren lösen.
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von (alternativ: von oder ).
Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von 30 sind.
Addiere und und subtrahiere von , um die Terme mit zu eliminieren.
Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus und besteht.
Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem das kgV steht.
Dann addierst du und , um den Term mit zu eliminieren.
Nun löst du nach auf und setzt den Wert in ein.
Die Werte und kann man dann in einsetzen, um zu bestimmen:
Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben:
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Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion . Die Punkte , und liegen auf dem Graphen der Funktion .
Du möchtest nun mithilfe dieser Informationen auf die Parameter , und schließen.
Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten , und auf.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Tipp: Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.
Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten
Der Funktionsgraph hat die Gleichung .
Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.
Punkt einsetzen
Setze den Punkt in die Gleichung ein.
Du erhältst deine erste Gleichung.
Punkt einsetzen
Setze den Punkt in die Gleichung ein.
Du erhältst deine zweite Gleichung.
Punkt einsetzen
Setze den Punkt in die Gleichung ein.
Du erhältst deine dritte Gleichung.
Das Gleichungssystem lautet also:
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Löse das Gleichungssystem.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungssysteme
Tipp: Setze die Gleichung in Gleichung und ein. Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Löse das Lineare Gleichungssystem
Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
Aus der dritten Gleichung folgt direkt:
Setze in die anderen beiden Gleichungen ein:
Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen und .
Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.
Addiere die Gleichung zu . Du erhältst eine neue Gleichung .
Löse nach der Unbekannten auf.
Setze in Gleichung ein, um den Parameter zu bestimmen.
Löse nach auf.
Gib die Lösungsmenge an:
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Gib die Funktionsgleichung an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterme
Die Funktionsvorschrift lautet .
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