Aufgaben zu Sinussatz und Kosinussatz

…

Berechne die (rot markierten) gesuchten Größen. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kosinussatz

Gegeben: $a=4\,$ $b=6\,$ $\gamma=67^\circ$

Gesucht: $c={?}$

Der gegebene Winkel ist von den beiden gegebenen Seiten eingeschlossen. Verwende deshalb den Kosinussatz.

$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle c^2$	$=$	$\displaystyle 4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\cos(67^{\circ})$
	↓	Rechne die rechte Seite zusammen.
$\displaystyle c^2$	$≈$	$\displaystyle 33{,}24$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel. Runde auf 2 Nachkommastellen.
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 5{,}77$

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz

Gegeben: $a=9$ $\alpha = 94^{\circ}$ $\gamma = 61^{\circ}$

Gesucht: $c={?}$

Du hast zwei Winkel und eine (einem der Winkel gegenüberliegende) Seite gegeben. Verwende deshalb den Sinussatz. Schreibe die Unbekannte c links oben in die Gleichung.

$\displaystyle \frac{c}{\sin(\gamma)}$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}\qquad$	$\displaystyle \cdot\sin(\gamma)$
	↓	Forme nach der gesuchten Größe um. Multipliziere hierzu mit $\sin(\gamma)$ .
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}\cdot\sin(\gamma)$
	↓	Setze die Werte ein.
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{\sin(94^{\circ})}\cdot\sin(61^{\circ})$
$\displaystyle c$	$≈$	$\displaystyle 7{,}89$

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz

Gegeben: $b=4\,$ $c=7{,}5$ $\gamma = 108^{\circ}$

Gesucht: $\beta={?}$

Du hast ein Paar aus Winkel und gegenüberliegender Seite und die Seite gegenüber dem gesuchten Winkel gegeben. Verwende deshalb den Sinussatz.

$\displaystyle \frac{b}{\sin(\beta)}$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{\sin(\gamma)}$
	↓	Tipp: Indem du von beiden Brüchen den Kehrbruch bildest, kannst du die gesuchte Größe in den Zähler bekommen.
$\displaystyle \frac{\sin(\beta)}{b}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(\gamma)}{c}$	$\displaystyle \cdot b$
	↓	Löse nach der gesuchten Größe auf.
$\displaystyle \sin(\beta)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(\gamma)}{c}\cdot b$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle \sin(\beta)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(108^{\circ})}{7{,}5}\cdot4$
	↓	Rechne aus.
$\displaystyle \sin(\beta)$	$≈$	$\displaystyle 0{,}5072$	$\displaystyle \sin^{-1}$
	↓	Löse nach dem Winkel auf.
$\displaystyle \beta$	$≈$	$\displaystyle 30\ ,48°$

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kosinussatz

Gegeben: $a=5{,}1;\;b=8;\;c=4{,}3$

Gesucht: $\beta={?}$

Du hast drei Seiten gegeben und suchst einen Winkel. Verwende deshalb den Kosinussatz. Da der gesuchte Winkel der Winkel $\beta$ ist, ist $b$ die gegenüberliegende Seite, die beim Kosinussatz allein steht.

$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$	$\displaystyle -a^2-c^2$
	↓	Forme nach $\beta$ um.
$\displaystyle b^2-a^2-c^2$	$=$	$\displaystyle -2ac\cdot\cos(\beta)$	$\displaystyle :\left(-2ac\right)$
$\displaystyle \frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}$	$=$	$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$\displaystyle \cos^{-1}$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\right)$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle \cos^{-1}\left(\frac{8^2-5{,}1^2-4{,}3^2}{-2\cdot5{,}1\cdot4{,}3}\right)$
	↓	Rechne aus und runde auf 2 Nachkommastellen.
$\displaystyle \beta$	$≈$	$\displaystyle 116{,}40°$

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