Gruppe A - lernen mit Serlo!

Ermittle für das abgebildete Viereck $A B C D$ den genauen Wert des Flächeninhalts. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnungen

Damit du die Fläche einfacher berechnen kannst, teilst du das Viereck zuerst in dir schon bekannte Figuren auf. Die orange Strecke $f$ auf dem Bild zeigt eine Möglichkeit, bei der zwei Dreiecke als Figuren gewählt wurden.

Dann beginnst du den Flächeninhalt der Dreiecke zu berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}A_{\triangle ABD}&=&\frac{1}{2}&\cdot g&\cdot h\\&= &\frac{1}{2}&\cdot \Delta x&\cdot \Delta y\\&=&\frac{1}{2}\hspace{7mm}&\cdot (x_B-x_A)\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{5mm}&\cdot (y_D-y_B)\end{array}$

Nun setzt du die Koordinatenwerte in die Rechnung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lllll}A_{\triangle ABD}&=&\frac{1}{2}&\cdot (3 \;\mathrm{cm}-1 \;\mathrm{cm})&\cdot (5 \;\mathrm{cm}-1 \;\mathrm{cm})\\&=&\frac{1}{2} &\cdot2\;\mathrm{cm}&\cdot4\;\mathrm{cm}\\&=&\frac{1}{2} &\cdot8\;\mathrm{cm}^2\\&=&4\;\mathrm{cm}^2\end{array}$

Das andere Dreieck ist nicht rechtwinklig, deswegen kannst du die Höhe des Dreiecks nicht mit den Koordinaten der gegebenen Punkte berechnen.

Für diese Flächenberechnung definierst du den Punkt $E$ , der auf der Grundlinie $[B D]$ des Dreiecks $B C D$ liegt und die y-Koordinate von $C$ hat. Die Strecke $[E C]$ hat nun dieselbe Länge wie die Höhe des Dreiecks und steht im Lot auf der Grundlinie des Dreiecks.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}A_{\triangle BCD}&=&\frac{1}{2}&\cdot g&\cdot h\\&=&\frac{1}{2}\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{1mm}&\cdot \Delta y &\cdot\Delta x\\&=&\frac{1}{2} \hspace{6mm}&\cdot(y_D-y_B)\hspace{10mm}&\cdot(x_C-x_E)\end{array}$

Nun setzt du wieder die Koordinatenwerte in die Rechnung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}A_{\triangle BCD}&=&\frac{1}{2} &\cdot(5\;\mathrm{cm}-1\;\mathrm{cm}) &\cdot(6\;\mathrm{cm}-3\;\mathrm{cm}) \hspace{10mm}\\&= &\frac{1}{2} &\cdot 4 \;\mathrm{cm} &\cdot 3 \;\mathrm{cm}\\&= & \frac{1}{2} &\cdot 12 \;\mathrm{cm}^2\\&= &6 \;\mathrm{cm}^2\end{array}$

Und jetzt addierst du noch den Flächeninhalt der beiden Dreiecke für den Flächeninhalt des gesamten Vierecks:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll} A_{gesamt}&= &A_{\triangle ABD} &+ &A_{\triangle BCD}\\&= &4\; \mathrm{cm}^2 &+ & 6\;\mathrm{cm}^2\\&= &10 \;\mathrm{cm}^2\end{array}$

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