Gruppe A

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}A_{\triangle ABD}&=&\frac{1}{2}&\cdot g&\cdot h\\&= &\frac{1}{2}&\cdot \Delta x&\cdot \Delta y\\&=&\frac{1}{2}\hspace{7mm}&\cdot (x_B-x_A)\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{5mm}&\cdot (y_D-y_B)\end{array}$

Nun setzt du die Koordinatenwerte in die Rechnung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lllll}A_{\triangle ABD}&=&\frac{1}{2}&\cdot (3 \;\mathrm{cm}-1 \;\mathrm{cm})&\cdot (5 \;\mathrm{cm}-1 \;\mathrm{cm})\\&=&\frac{1}{2} &\cdot2\;\mathrm{cm}&\cdot4\;\mathrm{cm}\\&=&\frac{1}{2} &\cdot8\;\mathrm{cm}^2\\&=&4\;\mathrm{cm}^2\end{array}$

Das andere Dreieck ist nicht rechtwinklig, deswegen kannst du die Höhe des Dreiecks nicht mit den Koordinaten der gegebenen Punkte berechnen.

Für diese Flächenberechnung definierst du den Punkt $E$, der auf der Grundlinie $[BD]$ des Dreiecks $BCD$ liegt und die y-Koordinate von $C$ hat. Die Strecke $[EC]$ hat nun dieselbe Länge wie die Höhe des Dreiecks und steht im Lot auf der Grundlinie des Dreiecks.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}A_{\triangle BCD}&=&\frac{1}{2}&\cdot g&\cdot h\\&=&\frac{1}{2}\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{2mm}\hspace{1mm}&\cdot \Delta y &\cdot\Delta x\\&=&\frac{1}{2} \hspace{6mm}&\cdot(y_D-y_B)\hspace{10mm}&\cdot(x_C-x_E)\end{array}$

Nun setzt du wieder die Koordinatenwerte in die Rechnung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}A_{\triangle BCD}&=&\frac{1}{2} &\cdot(5\;\mathrm{cm}-1\;\mathrm{cm}) &\cdot(6\;\mathrm{cm}-3\;\mathrm{cm}) \hspace{10mm}\\&= &\frac{1}{2} &\cdot 4 \;\mathrm{cm} &\cdot 3 \;\mathrm{cm}\\&= & \frac{1}{2} &\cdot 12 \;\mathrm{cm}^2\\&= &6 \;\mathrm{cm}^2\end{array}$

Und jetzt addierst du noch den Flächeninhalt der beiden Dreiecke für den Flächeninhalt des gesamten Vierecks:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll} A_{gesamt}&= &A_{\triangle ABD} &+ &A_{\triangle BCD}\\&= &4\; \mathrm{cm}^2 &+ & 6\;\mathrm{cm}^2\\&= &10 \;\mathrm{cm}^2\end{array}$

Wenn du die Länge des Radweges in der Zeichnung ausmisst, wirst du in etwa eine Länge von $10$ cm messen.

Du kennst den Maßstab der Zeichnung und weißt, dass ein Zentimeter in der Zeichnung bei einem Maßstab von $1\,: \,150\,000$ $150\,000$ cm in echt entsprechen.

$10$ cm in der Zeichnung entsprechen dann $10 \cdot 150\,000 = 1\,500\,000$ cm in echt.

Dies musst du nun noch in Kilometer umrechnen:

$1\,500\,000 \text{ cm} = 15\, 000 \text{ m} = 15 \text{ km}$

Der Radweg ist in etwa $15$ km lang.

Um die benötigte Menge an Schnee zu berechnen, musst du wissen wie viel $\mathrm{m}^3$ Schnee im November für die Loipe benötigt werden. Die in der Aufgabe angegebenen Maße für die Loipe sind $3 \;\mathrm{km}$, $2 \;\mathrm{m}$ und $50 \;\mathrm{cm}$.Um das Ergebnis am Ende in $\mathrm{m}^3$ angeben zu können, wandelst du nun die Einheiten dieser Abmessungen in Meter um.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lllll}3 &\cdot &1.000 &= &3.000&\Rightarrow3.000\; \mathrm{m}\\50&:&100 &= &0{,}5 &\Rightarrow0{,}5 \;\mathrm{m}\end{array}$

Jetzt kannst du auch schon die benötigten $\mathrm{m}^3$ Schnee berechnen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lllll}&3.000\;\mathrm{m} &\cdot &2\;\mathrm{m} &\cdot&0{,}5\;\mathrm{m}\\= &3.000\;\mathrm{m} &\cdot &1\;\mathrm{m}^2\\= &3.000\;\mathrm{m}^3\end{array}$

Fehlt nur noch die Schneemenge für den Januar! Dafür kannst du den Dreisatz benutzen, indem du die $3.000 \;\mathrm{m}^3$ Schnee aus dem November $60\%$ zuordnest.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llll}3.000 \; \mathrm{m}^3 &\rightarrow 60\%\\(3.000:6= 500)\\500 \;\mathrm{m}^3 &\rightarrow 10\% \\(500 \cdot 10 = 5.000)\\ 5.000\;\mathrm{m}^3 &\rightarrow 100\%\end{array}$

$\color{#ffffff}{Abstandshalter}$

Lösungssatz:

Im Januar müssen mindestens $5.000\;\mathrm{m}^3$ Schnee angehäuft werden, um daraus im November eine $3 \;\mathrm{km}$ lange, $2 \;\mathrm{m}$ breite und $50 \;\mathrm{cm}$ hohe Schneeschicht herstellen zu können.

Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\left\{6\right\}$

Die Zahl 6 ist ein Element von $\mathbb{Q}$ ($6\in \mathbb{Q}$).