Eine Zahlenmenge umfasst eine fest definierte Menge an Zahlen, mit denen man rechnen kann. Man kann mit ihr z. B. festlegen, welche Zahlen in eine Funktion eingesetzt werden dürfen.

 

Die elementaren Zahlenmengen sind aufeinander aufbauend definiert, sie werden von den Natürlichen bis zu den Komplexen Zahlen nach und nach ergänzt:

%%ℕ\;\subset\;ℤ\;\subset\;ℚ\;\subset\;ℝ\;\subset\;ℂ\;%%  

Jede Zahlenmenge ist in der nächstgrößeren vollkommen enthalten.

 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/1706.xml

 

Wichtige Zahlenmengen

natürliche Zahlen

%%\mathbb{N} = \{1;2;3;4;\ldots\}%%

Die natürlichen Zahlen benutzt man, um auf natürliche Weise zu zählen.

natürliche Zahlen mit 0

%%\mathbb{N}_0= \{0;1;2;3;4;\ldots\}%%

In einem bereits etwas weiter gefassten Sinn ist auch die 0 eine Zahl, mit der man in "natürlicher" Weise zählen kann.

ganze Zahlen

%%\mathbb{Z} = \{0;-1;1;-2;2;\ldots\}%%

Die ganzen Zahlen enthalten die Null, die natürlichen Zahlen und ihre Gegenzahlen.

rationale Zahlen

%%\mathbb{Q} = \{0;\frac{1}{2};-3\frac{4}{7};0,\overline{3};\ldots\}%%

Die rationalen Zahlen enthalten zusätzlich zu den ganzen Zahlen auch Brüche aus ganzen Zahlen.

reelle Zahlen

%%\mathbb{R}=\{\pi;\mathrm{e};\sqrt{2};-\frac{1}{2};\ldots\}%%

Die reellen Zahlen sind alle Dezimalbrüche. Das sind alle rationalen Zahlen und alle nichtperiodischen Dezimalbrüche mit unendlich vielen Nachkommastellen.

komplexe Zahlen

%%\mathbb{C}=\{\mathrm{i};4-5\mathrm{i};\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}};\ldots\}%%

Die komplexen Zahlen sind alle Zahlen der Form %%a+b\mathrm{i}%%, wobei %%a%% und %%b%% beliebige reelle Zahlen sind. %%\mathrm{i}%% ist eine imaginäre Zahl, für die %%\mathrm{i}^2=-1%% gilt.

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Zu article Wichtige Zahlenmengen:
Finn 2017-11-09 16:04:25
Ich finde es mega toll, dass ihr so eine tolle Seite erschaffen habt! Ich gehe auf ein Gymnasium in Bayern und verstehe öfters neuen Stoff im Unterricht nicht, dann kann ich alles in Ruhe nochmal durchsehen und eure Aufgaben lösen. Auch wird durch eure Seite, dass wiederholen von Stoff aus vorherigen Klassen leichter und man spart sich das nervige Herumgeblätter in alten Heften etc...
Wirklich großes Lob von mir an euch alle!!
Nish 2017-11-09 20:59:52
Hallo Finn,
vielen Dank für deine positiven und sehr motivierenten Worte!
Auch vielen Dank dafür, dass du dir die Zeit genommen hast, uns Feedback zu geben.

Falls du auch mal Verbesserungsvorschläge oder allgemeine Fragen zu Serlo hast, kannst du dich gerne über die Kommentare auf Serlo oder an mich (Profil: https://de.serlo.org/user/profile/27693, Mail: [email protected]) wenden.

LG,
Nish
Nish 2017-11-26 09:47:14
Hallo Finn,
ich habe eine Nachfrage an dich:

Ist es für dich in Ordnung, wenn wir deinen Kommentar (dein positives Feedback) an anderen Stellen unserer Webseite oder in einer Pressemitteilung anonym oder mit Vornamen veröffentlichen dürfen.

Es wäre super, wenn du mir (uns) bald antworten könntest. Für Rückfragen stehe ich dir hier oder auch per Mail ([email protected]) zur Verfügung.

LG,
Nish
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Zu article Wichtige Zahlenmengen:
Alfred 2017-10-15 03:02:13
Die einzelnen Zahlenmengen sind echteTeilmengen der nächsten Zahlenmenge. Der Unterstrich bei den Symbolen "Teil von" müsste aus meiner Sicht fehlen. Ansonsten wäre es ja möglich, dass die Zahlenmengen "Natürliche Zahlen" gleich viele Elemente enthalten kann wie "Komplexe Zahlen"
Renate 2017-10-16 07:42:38
Ja und Nein - würde ich dazu sagen.

"Ja" insofern, als die einzelnen Mengen tatsächlich echt ineinander enthalten sind, und somit der Strich fehlen KANN.

"Nein" insofern, als der zusätzliche Strich die Aussage nicht falsch macht, und deshalb nicht fehlen muss. Die Kombination aus Teilmengenzeichen und Gleichheitszeichen (also die Variante mit dem Strich) bedeutet ja nur
"ist echt enthalten ODER gleich"
und nicht "ist echt enthalten UND gleich" (was ja auch gar nicht möglich wäre).

Da jedoch die "echt enthalten"-Zeichen - wie erwähnt - hier auch richtig sind, aber mehr Information beinhalten, habe ich jetzt die "echt enthalten oder gleich"-Zeichen im Artikel in "echt enthalten"-Zeichen umgewandelt.

Vielen Dank für deinen Diskussionbeitrag, und bitte sieh gern nochmal in den Artikel hinein, ob jetzt alles passt, oder ob dir sonst noch etwas auffällt.

Gruß
Renate
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Zu article Wichtige Zahlenmengen:
benny 2017-04-27 08:46:45
Da fehlt die 0 bei den natürlichen Zahlen.
peterjaumann 2017-04-27 13:50:00
Hey Benny,

die 0 gehört nicht zu den natürlichen Zahlen.
Deshalb gibt es auch die Schreibweise des "normalen" Symbols für die natürlichen Zahlen mit der tiefgestellten 0. Damit gibt man bewusst an, dass man die natürlichen Zahlen UND die 0 meint.
Aber schön, dass du so aufmerksam mitdenkst. Du darfst uns gerne wieder Bescheid geben, wenn du einen Fehler findest.

Viele Grüße
Peter
benny 2017-04-28 12:50:57
Hi Peter,
danke für deine schnelle Antwort. Also ich studiere an der TU Berlin und bei uns im Skript ist die 0 bei den natürlichen Zahlen. "N := {0,1,2,3,...} ist die Menge der natürlichen Zahlen".
Wenn ich mal einen Link zur Konkurrenz setzen darf: http://www.mathebibel.de/natuerliche-zahlen
Knorrke 2017-04-30 22:40:05
Hallo ihr beiden :-)
tatsächlich habt ihr beide Recht, es gibt die unterschiedlichen Konventionen, entweder die 0 zu den natürlichen Zahlen zu zählen und dann %%\mathbb{N}_+%% für %%\{1,2,3,\ldots\}%% zu verwenden, oder eben die Konvention, die wir bei Serlo verwenden, die natürlichen Zahlen ohne 0 zu verwenden und %%\mathbb{N}_0%% für %%\{0,1,2,3,\ldots\}%% zu schreiben. Im Wikipedia-Artikel -> https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Bezeichnungskonventionen stehen noch mehr Infos über wer wann wie definiert hat, aber letztlich sind beide Varianten so weit verbreitet, dass wir uns hier entscheiden mussten.

Vielen Dank auf jeden Fall für den Hinweis! Vielleicht sollten wir die alternative Definition noch irgendwo erwähnen?

Gruß
Benni
Knorrke 2017-04-30 23:08:54
PS: @benny sorry, ich habe in deinem Link nicht weit genug gelesen. Das mit der DIN-Norm war mir neu, allerdings halten sich die bayrischen Schulbücher da leider nicht dran :-/ Momentan arbeiten wir hauptsächlich aus München aus und orientieren uns daher oft an dem uns bekannten bayrischen Lehrplan, aber sollten wir uns hier trotzdem überlegen zu ändern...

Also nochmal: Vielen Dank für den Hinweis!
Viele Grüße
Benni
peterjaumann 2017-05-01 15:53:35
Hallo ihr beiden,

danke für die weitere Aufklärung. Da hat mich wohl meine Intuition davon abgehalten, mich vor meiner Antwort ausreichend zu informieren. Eigentlich sind mir in meinem Studium auch schon beide Definitionsweisen begegnet.

Es handelt sich also wohl um eine Fragestellung, die wir mal "Serlo-übergreifend" diskutieren sollten. Wie würdest du es denn lösen, Benny?

Gruß Peter
Renate 2017-05-08 07:19:28
Hallo Benny, hallo Knorrke, hallo Peter,

ich habe jetzt hier erstmal in den Artikel die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 eingefügt.

Mein Vorschlag ist, dass wir unten eine Anmerkung schreiben, in der steht
1. dass es auch die andere Konvention gibt, und
2. dass wir bei Serlo die Konvention mit N und N_0 verwenden.
- zumindest bis auf weiteres. Denn wenn wir das jetzt ändern (z.B. weil es in manchen Bundesländern anders gehandhabt wird), dann müssen wir es sicher auch in etlichen Aufgabenlösungen ändern.
Was haltet ihr von dem Vorschlag?

Gruß
Renate

PS: Die Anmerkung muss dann natürlich außerdem noch in den Artikel "Natürliche Zahlen" hineingeschrieben werden.
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Zu article Wichtige Zahlenmengen: Auslagerung
niklasgee 2016-03-31 15:44:33
Ich habe jetzt alle Abschnitte zu den Zahlenmengen in eigene Artikel ausgelagert und hier nur verlinkt. Außerdem habe ich den Inhalt in den jeweiligen Artikeln erheblich vereinfacht.

Dennoch bin ich mit den einzelnen Artikeln noch nicht zufrieden. Man kann sicher noch viel ergänzen und verbessern.
benny 2017-04-27 08:46:25
Da fehlt die 0 bei den natürlichen Zahlen.
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