Rationale Zahlen

Beispiele

Rationale Zahlen sind zum Beispiel $\frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{2}{-4}, \ \frac{-1}{3},\ -3\frac{4}{7},\ \frac{8}{9}$. Die ganzen Zahlen sind ebenfalls rationale Zahlen, denn man kann sie als Bruch darstellen: $-1=\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1},\ 2=\frac{2}{1},\ 24=\frac{24}{1}$.

Ein Überblick über verschiedene, oft verwendete Zahlenmengen findet man im Artikel "Wichtige Zahlenmengen".

Eigenschaften

Eindeutige Darstellung

Jede rationale Zahl lässt sich als vollständig gekürzter Bruch in der Form $\dfrac{z}{n}$ darstellen, wobei der Zähler $z$ ein Element der ganzen Zahlen und der Nenner $n$ ein Element der natürlichen Zahlen ist. Für jede rationale Zahl ist das dann eine eindeutige Darstellung. Beispiele sind

• $\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$

• $23=\dfrac{23}{1}$

• $0=\dfrac{0}{1}$

Darstellung als Dezimalbruch

Rationale Zahlen kann man als Dezimalbruch darstellen. Zum Beispiel gilt

• $\dfrac{1}{2}=0{,}5$

• $\dfrac{3}{4}=0{,}75$

• $\dfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}$

Dezimalbrüche von rationalen Zahlen haben endlich viele Nachkommastellen oder sind periodisch. Nichtperiodische Dezimalbrüche mit unendlich vielen Nachkommastellen stellen irrationale Zahlen dar. Beispiele für irrationale Zahlen sind die Kreiszahl $\pi$ und $\sqrt{2}$.

Ordnung

Wie natürliche oder ganze Zahlen, können Dezimalzahlen und Brüche geordnet werden. Das heißt für zwei Zahlen kann mit den Symbolen <, > und = ausgesagt werden, ob eine Zahl kleiner oder größer als die andere bzw. sogar gleich ist.

Bei Dezimalzahlen wird Stelle für Stelle entschieden und verglichen (am besten von links nach rechts):

Brüche lassen sich nicht ganz so direkt vergleichen. Zwei Brüche müssen, um verglichen zu werden, in eine Dezimalzahl umgewandelt oder auf denselben Nenner gebracht werden.