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Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch ab\frac{a}{b} geschrieben werden können, wie bspw. 13, 145, 24 und 78\frac{1}{3},~\frac{14}{5}, ~\frac{-2}{-4}~\text{und}~\frac{-7}{8}. Aber auch Dezimalzahlen, wie 1,3; 3,74 oder 0,1=0,111...1{,}3;\ 3{,}74~\text{oder}~0,\overline{1}=0{,}111... gehören dazu.

DefinitionRationale Zahlen Q\mathbb{Q}

Die Menge der rationalen Zahlen Q\mathbb{Q} enthält alle Zahlen, die sich als

  • periodische oder endliche Dezimalzahlen,

  • oder Brüche darstellen lassen.

Beispiele

Rationale Zahlen sind zum Beispiel 24, 34, 24, 13, 347, 89\frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{2}{-4}, \ \frac{-1}{3},\ -3\frac{4}{7},\ \frac{8}{9}. Die ganzen Zahlen sind ebenfalls rationale Zahlen, denn man kann sie als Bruch darstellen: 1=11=11, 2=21, 24=241-1=\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1},\ 2=\frac{2}{1},\ 24=\frac{24}{1}.

Ein Überblick über verschiedene, oft verwendete Zahlenmengen findet man im Artikel "Wichtige Zahlenmengen".

Eigenschaften

Eindeutige Darstellung

Jede rationale Zahl lässt sich als vollständig gekürzter Bruch in der Form zn\dfrac{z}{n} darstellen, wobei der Zähler zz ein Element der ganzen Zahlen und der Nenner nn ein Element der natürlichen Zahlen ist. Für jede rationale Zahl ist das dann eine eindeutige Darstellung. Beispiele sind

  • 24=12 \dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}

  • 23=23123=\dfrac{23}{1}

  • 0=010=\dfrac{0}{1}

Darstellung als Dezimalbruch

Rationale Zahlen kann man als Dezimalbruch darstellen. Zum Beispiel gilt

  • 12=0,5\dfrac{1}{2}=0{,}5

  • 34=0,75\dfrac{3}{4}=0{,}75

  • 13=0,3\dfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}

Dezimalbrüche von rationalen Zahlen haben endlich viele Nachkommastellen oder sind periodisch. Nichtperiodische Dezimalbrüche mit unendlich vielen Nachkommastellen stellen irrationale Zahlen dar. Beispiele für irrationale Zahlen sind die Kreiszahl π\pi und 2\sqrt{2}.

Ordnung

Wie natürliche oder ganze Zahlen, können Dezimalzahlen und Brüche geordnet werden. Das heißt für zwei Zahlen kann mit den Symbolen <, > und = ausgesagt werden, ob eine Zahl kleiner oder größer als die andere bzw. sogar gleich ist.

Bei Dezimalzahlen wird Stelle für Stelle entschieden und verglichen (am besten von links nach rechts):

Brüche lassen sich nicht ganz so direkt vergleichen. Zwei Brüche müssen, um verglichen zu werden, in eine Dezimalzahl umgewandelt oder auf denselben Nenner gebracht werden.

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