Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 1

Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Ereignisse $A$ und $B$

Ereignis $A$

Die Aufgabenstellung gibt vor, dass du die Wahrscheinlichkeit mit einer Bernoullikette berechnen sollst.

Der Biathlet trifft…

• vier Mal mit einer Wahrscheinlichkeit von $p$.

• ein Mal nicht - mit einer Wahrscheinlichkeit von $1-p$ (als Gegenereignis von "Der Biathlet trifft").

Der Fehlschuss kann dem Biathleten in fünf Schüssen passieren, allerdings muss er dann die übrigen vier Schüsse treffen.

Daher gibt es fünf günstige Pfade im Baumdiagramm für das Ereignis $A$.

Man berechnet also:$B(n;p;k)=B(5;p;4)=\binom{5}{4}\cdot p^4\cdot (1-p)$

Ereignis $B$

Bei Ereignis $B$ ist die Reihenfolge wichtig. Deshalb bietet es sich an, ein Baumdiagramm zu verwenden.

Der Biathlet soll nur in Schuss 1 und Schuss 2 treffen.Das bedeutet, dass er in den Schüssen 3,4 und 5 sein Ziel verfehlt.

Wie man in folgendem Baumdiagramm sieht, gibt es genau einen Pfad, der das ermöglicht. T steht für "Treffer", D steht für "Daneben".

Daher ergibt sich die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Pfadregeln zu:

Für eine Bernoullikette muss die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer in jedem der fünf Schüsse gleich sein.

Es gibt aber verschiedene Einflüsse, die bewirken, dass nicht jeder Schuss des Biathleten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit sein Ziel findet.

Dazu zählen:

• Äußere Einflüsse wie Windböen, die vielleicht beim zweiten Schuss einsetzen und danach wieder versiegen.

• Psychologische Einflüsse: Zum Beispiel kann sich die Trefferwahrscheinlichkeit ändern, wenn der Biathlet die ersten beiden Schüsse nicht getroffen hat und jetzt Angst hat, den dritten Schuss erneut nicht zu treffen.

Skizze

Es gibt folgende Personen neben dem Moderator:

• 3 Politiker

• 1 Journalistin

• 2 Mitglieder einer Bürgerinitiative

Für den Platz ganz links gibt es $6$ Personen, die sich dort hinsetzen können.

Hat sich diese eine Person gesetzt, bleiben für den Platz daneben noch $5$ Personen.

Für den Platz links neben dem Moderator bleiben noch $4$ Personen übrig, usw.

Man kann diese Aufgabe daher mithilfe des Zählprinzips wie folgt lösen:

$\text{Anzahl Möglichkeiten}=6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=6!=720$

Betrachte zunächst die Plätze neben dem Moderator

Es gibt $2$ Möglichkeiten für die Personen neben dem Moderator:

• Es sitzt links von ihm ein Politiker und rechts die Journalistin.

• Oder: Es sitzt links von ihm die Journalistin und rechts ein Politiker.

Für jeden der Fälle gibt es für den einen Platz $3$ Möglichkeiten (da drei Politiker auf dem Sitz Platz nehmen könnten) und für den anderen Platz $1$ Möglichkeit für die Journalistin.

Also $\text{Anzahl Möglichkeiten neben Moderator}={\underbrace{2}_{\text{Politiker links oder rechts}}\cdot (3\cdot 1)}$

Restliche Plätze

Für die übrigen vier Randplätze gibt es dann noch vier Möglichkeiten.

Analog zu Aufgabenteil a) folgt:

$\text{Anzahl Möglichkeiten für Randplätze}=4!$

Also zusammengenommen:

$\text{Anzahl Möglichkeiten}=\underbrace{\left[2\cdot (3\cdot 1)\right]}_{\text{Platz neben dem Moderator}}\cdot\underbrace{(4\cdot 3\cdot 2\cdot1)}_{\text{restliche Plätze}}=144$