Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

Schätze den Wert von $\sqrt{7}$ .

Berechne dazu die ersten fünf Schritte der Intervallschachtelung und schätze anschließend den Wert von $\sqrt{7}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Intervallschachtelung

Die Methode der Intervallschachtelung ist eine Möglichkeit der Abschätzung von Werten von Wurzeln.

Überlege dir für den ersten Schritt ein Intervall, in dem der Wert von $\sqrt{7}$ liegen kann. Nutze dazu bereits bekannte Wurzelwerte.

1. Schritt

Du kennst bereits die Werte von:

$\sqrt{4}$ und $\sqrt{9}$

Daraus kannst du die erste Abschätzung machen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{} 2^2 &< &7 &< &3^2\\4 &<&7 &<&9\end{array}$

daraus folgt wiederum:

\displaystyle \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}

Das bedeutet, der Wert von $\sqrt{7}$ liegt im Intervall:

\displaystyle I_0 = \left]2\; ;\;3\right[

Die nächsten Schritte laufen immer in der gleichen Reihenfolge ab. Du bildest zuerst den Mittelwert der alten Intervallgrenzen. Dieser Wert bildet wiederum eine der neuen Intervallgrenzen. Die andere bleibt erhalten.

Ob der neue Wert die obere oder untere Intervallgrenze ist, entscheidest du wie folgt: quadriere den Mittelwert und vergleiche diesen Wert mit der $7$ .

Wenn er

größer als $7$ ist, bildet er die neue Obergrenze
kleiner als $7$ ist, bildet er die neue Untergrenze

Eine ausführliche Erklärung dieser Schritte findest du hier.

2. Schritt

\displaystyle I_0 = \left]2\; ;\;3\right[

Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von $I_{0}$ !

$\dfrac{2+3}{2}=2{,}5$

Berechne das Quadrat von $2,5$ und vergleiche es mit $7$ .

$2{,}5^2 = 6{,}25$

$6,25 < 7 < 9$

$2{,}5^2 < 7 <3^2$

Definiere nun das neue Intervall!

$I_1 = \left]2{,}5\; ; \; 3\right[$

3. Schritt

$I_1 = \left]2{,}5\; ; \; 3\right[$

Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von $I_{1}$ !

\displaystyle \dfrac{2{,}5+3}{2}=2{,}75

Berechne das Quadrat des Mittelwertes und vergleiche es mit $7$ .

\displaystyle 2{,}75^2=7{,}56

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccc}\ 6{,}25 &< &7 &< &7{,}56 \\2{,}5^2 &< &7 &< &2{,}75^2\end{array}$

Definiere nun das neue Intervall!

\displaystyle I_2 = \left]2{,}5 \; ; \;2{,}75\right[

4. Schritt

\displaystyle I_2 = \left]2{,}5 \; ; \;2{,}75\right[

Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von $I_{2}$ !

\displaystyle \dfrac{2{,}5+2{,}75}{2}=2{,}625

Berechne das Quadrat von $2,625$ und vergleiche es mit $7$ .

\displaystyle 2{,}625^2\approx6{,}89

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccc}\ 6{,}89 &< &7 &< &7{,}56\\2{,}625^2 &< &7 &< &2{,}75^2\end{array}$

Definiere nun das neue Intervall!

\displaystyle I_3 = \left]2{,}625\; ; \; 2{,}75\right[

5. Schritt

\displaystyle I_3 = \left]2{,}625\; ; \; 2{,}75\right[

Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von $I_{2}$ !

\displaystyle \frac{2{,}625+2{,}75}{2}=2{,}6875

Berechne das Quadrat des Mittelwerts und vergleiche mit $7$ .

\displaystyle 2{,}6875^2\approx7{,}22

\displaystyle 2{,}625^2<7<2{,}6875^2

Definiere nun das neue Intervall!

\displaystyle I_4 = \left] 2{,}625 \; ; \; 2{,}6875 \right[

Nach diesen fünf Schritten wissen wir:

\displaystyle \sqrt{7} \; \in \; I_4

Also: Der Wert von $\sqrt{7}$ liegt zwischen $2,625$ und $2,6875$ .

Abschätzung

Nimm den Mittelwert der letzten Intervallgrenzen als mögliche Abschätzung für den Wert von $\sqrt{7}$ .

\displaystyle \rightarrow\sqrt{7}\approx\frac{2{,}625+2{,}6875}{2}=2{,}65625

Die Abschätzung von $\sqrt{7}$ ergibt $2,65625$ .

Als Vergleich: Der Taschenrechner rundet auf $2,64575$ .

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