Teil A I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $f:\mapsto\dfrac{x^2-4x-5}{2x+4}$ in der maximalen Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}$ . Ihr Graph heißt $G_f$ .
1. Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$ und die Art der Definitionslücke. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte in der Umgebung der Definitionslücke. (4 BE)
2. Ermitteln Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten von $G_f$ und deren Art. (4 BE)
  $\left [Teilergebnis:\ f(x)=\frac12x-3+\dfrac7{2x+4}\right]$
3. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von $G_f$ . Geben Sie deren Koordinaten auf zwei Dezimalstellen gerundet an. (7 BE)
  $\left[Mögliches\ Teilergebnis:\ f'(x)=\dfrac{x^2+4x-3}{2(x+2)^2}\right]$
4. Zeichnen Sie $G_f$ und seine Asymptoten unter Verwendung bisherigerErgebnisse für $-8\leq x\leq8$ in ein kartesisches Koordinatensystem. (5 BE)
5. $G_f$ schließt mit der x-Achse ein endliches Flächenstück ein. Schraffieren Sie dieses in der Zeichnung von Teilaufgabe 1.4 und zeigen Sie, dass die exakte Maßzahl seines Flächeninhalts $12-3{,}5\cdot{ln(7)}$ beträgt. (6 BE)
6. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an $G_f$ bei $x=-1$ , zeichnen Sie diese in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1.4 ein und berechnen Sieden Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente mit der schiefen Asymptote von $G_f$ und der x-Achse einschließt. (6 BE)
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem abgeschiedenen Dorf verbreitet der Bewohner Maxl zum Zeitpunkt $t = 0$ das Gerücht, dass der berühmte Sänger Fritzi Vordergucker seinen Urlaub hier im Ort verbringen möchte.
Die Funktion $B$ beschreibt näherungsweise die Anzahl der Dorfbewohner, die nach $t$ Tagen von dem Gerücht gehört haben, und ist durch die Funktionsgleichung $B(t) = \displaystyle \frac{A}{1 + 849 \cdot e^{c \cdot t}}$ mit $t\geq 0$ und $A,c \in \mathbb{R}$ festgelegt. Bei den Rechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.
1. Ermitteln Sie die Parameter $A$ und $c$ , wenn nach 5 Tagen bereits 120 Dorfbewohner von dem Gerücht erfahren haben und am Anfang nur Maxl Bescheid wusste. (5 BE)
  $\left[Ergebnis:A=850;c=0{,}988\right]$
2. Berechnen Sie, nach wie vielen Tagen bereits 500 Bewohner von dem Gerücht gehört haben. (3 BE)
3. Bestimmen Sie $\displaystyle \lim_{t\to\infty} B(t)$ und erklären Sie die Bedeutung dieses Grenzwertes im Sachzusammenhang. (2 BE)
4. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion $B$ .
  Bestimmen Sie ferner das Verhalten der 1. Ableitungsfunktion von $B$ für $t \to +\infty$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (5 BE)
  $\left[ Teilergebnis: \dot{B}(t)=\displaystyle \frac{712990{,}2 \cdot e^{-0{,}988t}}{(1+849 \cdot e^{-0{,}988t})^2} \right]$
5. Zeichnen Sie für $t \in [0; 16]$ den Graphen von $B$ in ein geeignetes Koordinatensystem. (4 BE)
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Zur Wiederaufforstung von steilen Gebirgshängen werden zunächst Baumsetzlinge gezüchtet und anschließend gepflanzt. Die Höhe $h$ (in $cm$ ) eines Baumsetzlings in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Monaten) wird durch folgende Funktion $h$ näherungsweise beschrieben:
$h:t\mapsto70+30\cdot\ln(3t+2)$ für $t \in [0;240]$ .
Die Pflanzung des Setzlings erfolgt zum Zeitpunkt $t = 0$ . Nach $240$ Monaten ist das Höhenwachstum im Wesentlichen beendet. Auf die Verwendung von Einheiten kann bei der Rechnung verzichtet werden. Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.
1. Berechnen Sie die Höhe eines Setzlings zum Zeitpunkt der Anpflanzung und am Ende der Wachstumsphase. (2 BE)
2. Haben die Bäume eine Höhe von mindestens $250 \, cm$ erreicht, sind sie sicher mit dem Gebirgshang verwurzelt und können so einen Murenabgang nach sehr starken Regenfällen verhindern.
  Berechnen Sie, wie viele Jahre es ab dem Beginn der Pflanzung dauert, bis ein Murenabgang aufgrund der Aufforstung erfolgreich abgewendet werden kann. (3 BE)
3. Zeigen Sie, dass die Baumsetzlinge für $t = 0$ am stärksten wachsen. (4 BE) $\left[\textrm{Teilergebnis:}\ \ \dot{h}(t)=\frac{90}{3t+2}\right]$

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