10Varianten des Ziegenproblems - Gefangenenproblem

Problem der drei Gefangenen:

Drei Verurteilte sitzen in der Todeszelle. Die Hinrichtung ist auf den nächsten Tag zur Mittagszeit angesetzt. Am Morgen des schwarzen Tages flüstert ihnen ein Wärter zu: ,,Der König hat einen von euch begnadigt! Ich darf aber nicht verraten, wer es ist - es könnte mich den Kopf kosten."

Der Gefangene A gibt sich damit nicht zufrieden. Er lässt sich zum Anstaltspfarrer führen. Auf dem Weg zum Seelsorger steckt er dem Wärter ein Goldstück zu und bittet ihn: ,,Gib wenigstens einen Hinweis!" Der windet sich weiter: ,,Ich darf dir nicht sagen, wie es um dich steht." A lässt nicht locker, es brauche ja nur ein indirekter Hinweis zu sein. Der Wärter wird schließlich mürbe:,,Na gut, wer begnadigt ist, darf ich dir nicht sagen, aber eins kann ich wohl verraten: B muss sterben!"

A denkt: ,,Erst lagen meine Chancen bei $\frac{1}{3}$, jetzt sind sie immerhin auf $\frac{1}{2}$ gestiegen."

Ist er zu Recht erleichtert?

Die vorliegenden vier Fälle sind nicht gleichwahrscheinlich:

Im Baumdiagramm ist die erste Stufe das "Begnadigen", die zweite Stufe ist das "Nennen" durch den Wärter.

Mit dem Satz von Bayes kann man die Wahrscheinlichkeit für A berechnen:

$P_B\left(A\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot1}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$

Es hat sich für A also nichts an der Wahrscheinlichkeit geändert.

Aber für C hat sich die WKT auf $\frac{2}{3}$ erhöht:

$P_B\left(C\right)=\frac{\frac{1}{3}\cdot1}{\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$