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1.0 Gegeben ist die ganzrationale Funktion g dritten Grades mit , deren Graph in nebenstehender Abbildung dargestellt ist. Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: hat bei der Nullstelle eine Tangente mit mit und besitzt den Wendepunkt .
1.1 Skizzieren Sie den Graphen der 1. Ableitungsfunktion von g in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion an.
1.2.0 Zur Bestimmung des Funktionsterms g(x) ist folgendes Gleichungssystem gegeben:
1.2.1 Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.
1.2.2 Bestimmen Sie g(x) mithilfe der Gleichungen aus 1.2.0.
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2.0 Gegeben ist nun die Funktion mit , wobei g die Funktion aus Teilaufgabe ist. Der Graph wird mit bezeichnet.
2.1 Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.
2.2 Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von . Runden Sie die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.
2.3 Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von .
2.4 Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab: LE .
2.5 Es gilt . Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Bezug auf .
2.6 Die Parabel mit und schließt mit im I. und IV. Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein. Zeichnen Sie für in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das linke der beiden Flächenstücke und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.
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3.0 Einer Halbkugel mit Radius soll ein Zylinder mit Radius und Höhe einbeschrieben werden (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.
3.1 Ermitteln Sie die Maßzahl des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion an, wenn die Höhe mindestens betragen soll.
[Mögliches Teilergebnis: ]
3.2 Berechnen Sie so, dass den absolut größten Wert annimmt, und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.
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