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Teil 1 Stochastik

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    1.0 Der Graph GfG_f einer ganzrationalen Funktion ff vierten Grades mit Df=RD_f=\mathbb{R} ist symmetrisch zur y-Achse und hat einen Wendepunkt W1(12,5)W_1(1 | 2, 5). Die Tangente GtG_t im Punkt W1W_1 besitzt die Gleichung t:y=4x1,5t:y=4x-1{,}5 mit xRx\in\mathbb{R} .

    1.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x)f(x).

     

    [Mögliches Ergebnis: f(x)=12(x46x2)]f(x)=-\frac12(x^4-6x^2)\rbrack

    1.2 Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion ff und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen GfG_f.

    1.3 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion ff sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen GfG_f.

    1.4 Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph GfG_f genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die x-Koordinaten sämtlicher Punkte von GfG_f, welche die gleichen y-Koordinaten wie die Wendepunkte haben.

    1.5 Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen GfG_f im Bereich 2,5x2,5-2{,}5\leqslant x\leqslant2{,}5 in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der y-Achse der Bereich 5x5-5\leqslant x\leqslant5 benötigt.

     

    Maßstab: 11 LE =1cm= 1 cm.

    1.6 Zeigen Sie, dass an der Stelle x=2x=-2 die Gleichung f(x)f(x)=0f(x)-f'(x)=0 gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen GfG_f bedeutet.

    1.7 Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion ff' an und zeichnen Sie den Graphen GfG_f im Bereich 2x2-2\leqslant x\leqslant2 in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.

    1.8 Die Graphen GfG_f und GfG_{f'} schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

  2. 2

    Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Ist der Graph GhG_h einer ganzrationalen Funktion hh symmetrisch zur y-Achse, dann ist der Graph GhG_{h'} der ersten Ableitungsfunktion hh' punktsymmetrisch zum Ursprung.

  3. 3

    3.0 Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius r=12cmr=12cm und einem Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe hh und dem Durchmesser bb in der Grundfläche (siehe nebenstehende Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

    Nachttischleuchte

    3.1 Bestimmen Sie die Maßzahl V(h)V(h) des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von hh.

     

    [Mögliches Ergebnis: V(h)=π3(h3+144h)V(h)=\frac\pi3(-h^3+144h)]

    3.2 Aus technischen Gründen wird für die Funktion V:hV(h)V:h\mapsto V(h) als Definitionsbereich DV=[2;8]D_V=\lbrack2;8\rbrack gewählt.

     

    Bestimmen Sie die Höhe hh des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer würde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen.


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