Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch:
ARechteck=g⋅h
Hier ist die Grundseite g gerade x und die Höhe h gerade der Funktionswert f(x):
ARechteck=x⋅f(x)=x⋅(−ln(x))=:A(x)
Ableiten des Flächeninhalts A(x):
A(x)=x⋅(−ln(x))⇒A′(x)=−(ln(x))−1A′(x)=0⇔(−ln(x))−1=0⇔x=e−1=e1
Überprüfung der Art des Extremum:
A′′(e1)<0:
A′′(x)=−x1⇒A′′(e1)=−e11=−e<0
Also ist bei x=e1 ein Maximum und der Flächeninhalt des Rechtecks dort maximal.
Die Länge der zweiten Seite ist gerade f(e1)=−ln(e1)=−(−1)=1.
Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann gerade e1 und 1.