Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch:

$A_{Rechteck}=g\cdot h_{ }$

Hier ist die Grundseite $g$ gerade $x$ und die Höhe $h$ gerade der Funktionswert $f(x)$:$$

$A_{Rechteck} = x \cdot f(x) = x \cdot (-\ln(x)) = : A(x)$

Ableiten des Flächeninhalts $A(x)$:

$A(x)= x \cdot (-\ln(x)) \Rightarrow A'(x) = -(\ln(x)) - 1$$$$A'(x)=0\Leftrightarrow(-\ln(x))-1=0\Leftrightarrow x=e^{-1}=\frac{1}{e}$

Überprüfung der Art des Extremum:

$A''\left(\dfrac1e\right) < 0:$

$A''(x)= -\dfrac1x \Rightarrow A''\left(\dfrac1e\right)=-\displaystyle\dfrac1{\dfrac1e}=-e<0$

Also ist bei $x = \dfrac1e$ ein Maximum und der Flächeninhalt des Rechtecks dort maximal.

Die Länge der zweiten Seite ist gerade $f\left(\dfrac1e\right)=-\ln\left(\dfrac1e\right)=-(-1)=1.$

Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann gerade $\dfrac1e$ und $1$.