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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Der Graph einer in R\mathbb{R} definierten Funktion g:  xg(x)g:\;x\mapsto g(x) besitzt für 5x5-5\leq x\leq5 zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I,II und III zur zweiten Ableitungsfunkton gg^{''} von gg gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

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  2. 2
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    In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

    • Zwei Seiten liegen auf dem Koordinatenachsen.

    • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen GfG_f der Funktion f:  xln  xf:\;x\mapsto-\ln\;x mit 0<x<10<x<1.

    Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

    Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

  3. 3

    Geben Sie jeweils den Term einer in R\mathbb{R} definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

    1. Der Graph der Funktion gg geht aus dem Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion xsin(x)x\mapsto\sin\left(x\right) durch Spiegelung an der y-Achse hervor.

    2. Die Funktion hh hat den Wertebereich [1;3][1;3].

    3. Die Funktion kk besitzt die Periode π\mathrm\pi.

  4. 4

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f mit f(x)=ex(2x+x2)f(x)=e^x\cdot\left(2x+x^2\right).

    1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion ff.

    2. Zeigen Sie, dass die in R\mathbb{R} definierte Funktion F mit F(x)=x2exF(x)=x^2\cdot e^x eine Stammfunktion von ff ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion GG von ff an, für die G(1)=2eG(1)=2e gilt.

  5. 5

    Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion ff.

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    1. Beschreiben Sie für axba\leq x\leq b den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von ff.

    2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von ff im gesamten dargestellten Bereich.


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