Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Graph einer in $ℝ$ definierten Funktion $g : x \mapsto g (x)$ besitzt für $- 5 \leq x \leq 5$ zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I,II und III zur zweiten Ableitungsfunkton $g^{^{''}}$ von $g$ gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Hier ist es sinnvoll das Ausschlussverfahren zu benutzen.
Der Graph der zweiten Ableitungsfunktion $g^{''} (x)$ muss zwei Nullstellen besitzen, damit der Graph von $g (x)$ zwei Wendepunkte hat. Also können es nur die Graphen I und III sein.
Da sich jedoch auch das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion $g^{''} (x)$ ändern muss, gehört Graph I zur zweiten Ableitungsfunktion $g^{''} (x)$ .
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:
Zwei Seiten liegen auf dem Koordinatenachsen.
Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen $G_{f}$ der Funktion $f : x \mapsto - \ln x$ mit $0 < x < 1$ .
Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch:
$A_{R e c h t e c k} = g \cdot h_{}$
Hier ist die Grundseite $g$ gerade $x$ und die Höhe $h$ gerade der Funktionswert $f (x)$ : $$
$A_{R e c h t e c k} = x \cdot f (x) = x \cdot (- \ln (x)) = : A (x)$
Ableiten des Flächeninhalts $A (x)$ :
$A (x) = x \cdot (- \ln (x)) \Rightarrow A^{'} (x) = - (\ln (x)) - 1$ $$ $A^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow (- \ln (x)) - 1 = 0 \Leftrightarrow x = e^{- 1} = \frac{1}{e}$
Überprüfung der Art des Extremum:
$A^{''} (\frac{1}{e}) < 0 :$
$A^{''} (x) = - \frac{1}{x} \Rightarrow A^{''} (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{\frac{1}{e}} = - e < 0$
Also ist bei $x = \frac{1}{e}$ ein Maximum und der Flächeninhalt des Rechtecks dort maximal.
Die Länge der zweiten Seite ist gerade $f (\frac{1}{e}) = - \ln (\frac{1}{e}) = - (- 1) = 1.$
Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann gerade $\frac{1}{e}$ und $1$ .
Um die Seitenlängen des Rechtecks zu berechnen gehst du folgendermaßen vor:
Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: $A_{R e c h t e c k} = g \cdot h_{}$
Sei die Grundseite $g$ gerade $x$ und die Höhe $h$ gerade der Funktionswert $f (x)$ .
Leite den Flächeninhalt des Rechtecks $A (x)$ ab.
Setze die Ableitung gleich null um die Stelle des Maximums zu erhalten.
Prüfe durch Berechnung der zweiten Ableitung, ob das Extremum tatsächlich ein Maximum ist. Es muss gelten: $A^{''} (x) < 0$
Die Seitenlängen ergeben sich durch den Wert des Maximums und durch den Funktionswert $f (x)$ an der Stelle des Maximums. $$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Geben Sie jeweils den Term einer in $ℝ$ definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.
1. Der Graph der Funktion $g$ geht aus dem Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $x \mapsto \sin (x)$ durch Spiegelung an der y-Achse hervor.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Soll $g (x)$ durch Spiegelung an der y-Achse entstehen, so gilt: $g (x) = f (- x) = s i n (- x) .$
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2. Die Funktion $h$ hat den Wertebereich $[1; 3]$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Um den Wertebereich einer periodischen Funktion zu verschieben muss man die normale Sinusfunktion $f (x) = \sin (x)$ in y-Richtung verschieben. In diesem Fall muss man die Funktion um $2$ nach oben verschieben. Das macht man indem man $2$ hinzuaddiert.
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3. Die Funktion $k$ besitzt die Periode $π$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Die Periode einer Funktion ist von dem Koeffizienten des $x$ abhängig. Je größer der Koeffizienten des $x$ , desto kleiner ist die Periode. Die Periode der normalen Sinusfunktion $f (x) = \sin (x)$ hat die Periode $2 π$ . Um die Periode als zu halbieren, muss man die $2$ als Koeffizienten einsetzen.
  Hier gibt es noch ein Applet.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die in $ℝ$ definierte Funktion f mit $f (x) = e^{x} \cdot (2 x + x^{2})$ .
1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen setzt man diese gleich $0$ und löst dann nach $x$ auf.
  $f (x) = e^{x} \cdot (2 x + x^{2})$
  $\Rightarrow$ $e^{x} = 0$
  und $2 x + x^{2} = 0$
  $e^{x} \neq 0$
  $2 x + x^{2} = 0$
  $x^{2} + 2 x = 0$
  $\to$ Mitternachtsformel
  $x_{1},_{2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
  $x_{1},_{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}}{2 \cdot 1}$
  $x_{1},_{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 0}}{2}$
  $x_{1},_{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4}}{2}$
  $x_{1},_{2} = \frac{- 2 \pm 2}{2}$
  $x_{1} = \frac{- 2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0$
  $x_{2} = \frac{- 2 - 2}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2$
  Hier noch eine alternative Lösung:
  $2 x + x^{2} = 0$
  $x \cdot (2 + x) = 0$
  $\Rightarrow x_{1} = 0$
  und
  $2 + x = 0$
  $\Rightarrow x_{2} = - 2$
  (natürlich kann man auch auf die Nullstellen von $2 x + x^{2}$ durch probieren kommen; vielleicht sogar schneller)
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2. Zeigen Sie, dass die in $ℝ$ definierte Funktion F mit $F (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G (1) = 2 e$ gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Die Stammfunktion einer Funktion findet man durch integrieren. Hier müssen wir allerdings partiell integrieren:
  $\int e^{x} \cdot (2 x + x^{2}) d x$
  $\int (2 x + x^{2}) \cdot e^{x} d x$
  $[(2 x + x^{2}) \cdot e^{x}] - \int (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3}) \cdot e^{x} d x$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f$ .
1. Beschreiben Sie für $a \leq x \leq b$ den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von $f$ .
2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von $f$ im gesamten dargestellten Bereich.