Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Graph einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g:\;x\mapsto g(x)$ besitzt für $-5\leq x\leq5$ zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I,II und III zur zweiten Ableitungsfunkton $g^{''}$ von $g$ gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt
Hier ist es sinnvoll das Ausschlussverfahren zu benutzen.
Der Graph der zweiten Ableitungsfunktion $g''\left(x\right)$ muss zwei Nullstellen besitzen, damit der Graph von $g\left(x\right)$ zwei Wendepunkte hat. Also können es nur die Graphen I und III sein.
Da sich jedoch auch das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion $g''\left(x\right)$ ändern muss, gehört Graph I zur zweiten Ableitungsfunktion $g''\left(x\right)$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:
Zwei Seiten liegen auf dem Koordinatenachsen.
Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen $G_f$ der Funktion $f:\;x\mapsto-\ln\;x$ mit $0<x<1$ .
Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt. Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gegeben durch:
$A_{Rechteck}=g\cdot h_{ }$
Hier ist die Grundseite $g$ gerade $x$ und die Höhe $h$ gerade der Funktionswert $f(x)$ : $$
$A_{Rechteck} = x \cdot f(x) = x \cdot (-\ln(x)) = : A(x)$
Ableiten des Flächeninhalts $A(x)$ :
$A(x)= x \cdot (-\ln(x)) \Rightarrow A'(x) = -(\ln(x)) - 1$ $$ $A'(x)=0\Leftrightarrow(-\ln(x))-1=0\Leftrightarrow x=e^{-1}=\frac{1}{e}$
Überprüfung der Art des Extremum:
$A''\left(\dfrac1e\right) < 0:$
$A''(x)= -\dfrac1x \Rightarrow A''\left(\dfrac1e\right)=-\displaystyle\dfrac1{\dfrac1e}=-e<0$
Also ist bei $x = \dfrac1e$ ein Maximum und der Flächeninhalt des Rechtecks dort maximal.
Die Länge der zweiten Seite ist gerade $f\left(\dfrac1e\right)=-\ln\left(\dfrac1e\right)=-(-1)=1.$
Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann gerade $\dfrac1e$ und $1$ .
Um die Seitenlängen des Rechtecks zu berechnen gehst du folgendermaßen vor:
Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: $A_{Rechteck}=g\cdot h_{ }$
Sei die Grundseite $g$ gerade $x$ und die Höhe $h$ gerade der Funktionswert $f(x)$ .
Leite den Flächeninhalt des Rechtecks $A(x)$ ab.
Setze die Ableitung gleich null um die Stelle des Maximums zu erhalten.
Prüfe durch Berechnung der zweiten Ableitung, ob das Extremum tatsächlich ein Maximum ist. Es muss gelten: $A''(x)<0$
Die Seitenlängen ergeben sich durch den Wert des Maximums und durch den Funktionswert $f(x)$ an der Stelle des Maximums. $$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Geben Sie jeweils den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.
1. Der Graph der Funktion $g$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $x\mapsto\sin\left(x\right)$ durch Spiegelung an der y-Achse hervor.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Soll $g(x)$ durch Spiegelung an der y-Achse entstehen, so gilt: $g(x) = f(-x) = sin(-x).$
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2. Die Funktion $h$ hat den Wertebereich $[1;3]$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Um den Wertebereich einer periodischen Funktion zu verschieben muss man die normale Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ in y-Richtung verschieben. In diesem Fall muss man die Funktion um $2$ nach oben verschieben. Das macht man indem man $2$ hinzuaddiert.
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3. Die Funktion $k$ besitzt die Periode $\mathrm\pi$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Die Periode einer Funktion ist von dem Koeffizienten des $x$ abhängig. Je größer der Koeffizienten des $x$ , desto kleiner ist die Periode. Die Periode der normalen Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ hat die Periode $2\pi$ . Um die Periode als zu halbieren, muss man die $2$ als Koeffizienten einsetzen.
  Hier gibt es noch ein Applet.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion f mit $f(x)=e^x\cdot\left(2x+x^2\right)$ .
1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $f$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
  Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen setzt man diese gleich $0$ und löst dann nach $x$ auf.
  $f(x)=e^x \cdot (2x+x^2)$
  $\Rightarrow$ $e^x=0$
  und $2x+x^2=0$
  $e^x\neq0$
  $2x+x^2=0$
  $x^2+2x=0$
  $\rightarrow$ Mitternachtsformel
  $x_1,_2=\frac{-b\pm\sqrt {b^2-4ac}}{2a}$
  $x_1,_2=\frac{-2\pm\sqrt {2^2-4\cdot 1\cdot 0}}{2 \cdot 1}$
  $x_1,_2=\frac{-2\pm\sqrt {4-0}}{2}$
  $x_1,_2=\frac{-2\pm\sqrt {4}}{2}$
  $x_1,_2=\frac{-2\pm2}{2}$
  $x_1=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=\underline 0$
  $x_2=\frac{-2-2}{2} =\frac{-4}{2}=\underline {-2}$
  Hier noch eine alternative Lösung:
  $2x+x^2=0$
  $x\cdot(2+x)=0$
  $\Rightarrow x_1=0$
  und
  $2+x=0$
  $\Rightarrow x_2=-2$
  (natürlich kann man auch auf die Nullstellen von $2x+x^2$ durch probieren kommen; vielleicht sogar schneller)
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2. Zeigen Sie, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion F mit $F(x)=x^2\cdot e^x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G(1)=2e$ gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Die Stammfunktion einer Funktion findet man durch integrieren. Hier müssen wir allerdings partiell integrieren:
  $\int e^x \cdot (2x+x^2)dx$
  $\int (2x+x^2) \cdot e^xdx$
  $[(2x+x^2)\cdot e^x]-\int (x^2+\frac {1}{3}x^3) \cdot e^xdx$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f$ .
1. Beschreiben Sie für $a\leq x\leq b$ den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von $f$ .
2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von $f$ im gesamten dargestellten Bereich.