Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion können auf verschiedene Weise verändert werden. Sie können in %%x%%- und %%y%%-Richtung verschoben, gestreckt oder gestaucht sein.

Eine veränderte trigonometrische Funktion kann zum Beispiel so aussehen: $$f(x)=3\cdot\sin(2\cdot x+1)-1.$$

Um die Veränderungen leichter beschreiben zu können, klammert man den Faktor vor dem %%x%% aus: %%f(x) = 3 \cdot \sin\left(2 \cdot (x+ \dfrac12)\right) -1%%

Allgemeine Form

Sinus: %%\displaystyle{f(x) = a \cdot \sin \big(b \cdot(x + c)\big) + d}%%

Kosinus: %%\displaystyle{f(x) = a \cdot \cos \big(b \cdot(x + c)\big) + d}%%

Die reellen Parameter %%a,b,c,d%% bestimmen, wie der Graph genau verändert wird.

Bemerkung: Nicht nur trigonometrische Funktionen lassen sich so verändern. Unter den folgenden Links findest du wie man den Graphen einer beliebigen Funktion verschiebt oder staucht, oder streckt.

Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen

Beobachtung an Beispielen

1. Betrachte %%f(x)=\sin(2\cdot x)+1.%%

Im Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter %%d%% und %%b%% verändert:

  1. Zunächst wird %%d%% vom Startwert %%0%% beginnend bis zum Endwert %%1%% verändert.
    Währenddessen verschiebt sich der Funktionsgraph um %%1%% in %%y%%-Richtung nach oben. Beim Endwert %%d=1%% hat die Funktion die Ruhelage %%y=1%%.
    %%\Rightarrow d%% verändert also die Ruhelage der Funktion.

  2. Danach wird %%b%% vom Startwert %%1%% beginnend bis zum Endwert %%2%% verändert.
    Währenddessen staucht sich der Funktionsgraph in %%x%%-Richtung zusammen; die Wellenberge und Wellentäler rücken enger aneinander, die Periode der Funktion wird kleiner. Beim Endwert %%b=2%% ist die Periode nur noch %%\pi%% statt %%2\pi%%.
    %%\Rightarrow b%% verändert also die Periode der Funktion.

2. Betrachte %%g(x)=2\cdot\cos(x-1).%%

Auch an diesem Applet sieht man, dass sich der Funktionsgraph unter dem Einfluss der Parameter %%a%% und %%c%% verändert:

  1. Zuerst wird %%c%% vom Startwert %%0%% beginnend auf den Wert %%-1%% verändert. Dabei verschiebt sich der Funktionsgraph in %%x%%-Richtung.
    %%\Rightarrow c%% verändert also die Lage des Funktionsgraphen in %%x%%-Richtung.

  2. Danach wird %%a%% vom Startwert %%1%% beginnend bis zum Endwert %%2%% verändert. Dabei wird der Funktionsgraph in %%y%%-Richtung gestreckt.
    %%\Rightarrow a%% verändert also die Amplitude der Funktion.

Überblick über den Einfluss der Parameter

Parameter %%a%%

Der Parameter %%a%% beeinflusst die Amplitude. Er streckt/staucht den Graph in %%y%%-Richtung.

  • Der Graph hat die Amplitude %%|a|%%
  • %%a<0%%: Der Graph wird zusätzlich an der Ruhelage gespiegelt.

Änderung der Amplitude

Parameter %%b%%

Der Parameter %%b%% beeinflusst die Periode. Er streckt/staucht den Graph in %%x%%-Richtung.

  • Der Graph hat die Periode %%p = \dfrac{2\pi}{|b|}%%

  • %%b<0%%: Der Graph wird zusätzlich an der senkrechten Achse %%x = -c%% gespiegelt

Änderung der Periode

Parameter %%c%%

Der Parameter %%c%% verursacht eine Verschiebung in %%x%%-Richtung

  • %%c > 0%% : Verschiebung um %%c%% nach links
  • %%c < 0%% : Verschiebung um %%c%% nach rechts

Verschiebung in x-Richtung

Parameter %%d%%

Der Parameter %%d%% beeinflusst die Ruhelage. Er verschiebt den Graph in %%y%%-Richtung

  • %%d > 0%%: Verschiebung um %%d%% nach oben
  • %%d < 0%%: Verschiebung um %%d%% nach unten
  • Der Graph hat die Ruhelage bei %%y = d%%

Verschiebung in y-Richtung

Zum Ausprobieren im Applet

Die beschriebenen Zusammenhänge sind in folgendem Applet veranschaulicht:

%%\color{#cc0000}{a\cdot\sin(b(x+c))+d}%%

%%\color{#009999}{a\cdot\cos(b(x+c))+d}%%

Übungsaufgaben (hier klicken)

In diesen beiden Bildern siehst du jeweils einen Funktionsgraphen.

Gesucht ist jedesmal eine Funktionsgleichung, die dazu passt.

Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zum Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funkionen

Kommentieren Kommentare

Zu article Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen: Verschiebung entlang der Ruhelage
Renate 2016-07-20 16:14:02
Zum Text unter dem zweiten Beispiel-Applet:
"Dabei verschiebt sich der Funktionsgraph in x-Richtung, das heißt entlang der Ruhelage der Funktion. "
Was soll der Zusatz mit der Ruhelage aussagen?

"Verschiebung in x-Richtung" finde ich eigentlich klar genug.

Zudem ist aber "Verschiebung entlang der Ruhelage" meinem Gefühl nach sprachlich problematisch: Die Ruhelage ist - laut Serlo-Artikel - "derjenige Funktionswert, um den die Funktion (bildlich gesprochen) schwingt" - also eine ZAHL.
Wie kann man entlang einer Zahl verschieben?

Oder verstehe ich da irgendetwas nicht richtig?
SebSoGa 2016-07-21 09:27:22
Hallo Renate,
ich hatte genau die gleichen Probleme mit der Formulierung. Weiß aber gar nicht mehr warum ich diesen Satz letztlich so stehen gelassen habe wahrscheinlich wegen der Skizze im Artikel Amplitude und Ruhelage. Sollte man der Definition von Ruhelage nach diese nicht ersetzen müssen? (dort wird die Ruhelage praktisch als eine Parallele zur x-Achse visualisiert)

Viele Grüße
Sebastian
Renate 2016-07-21 10:21:53
Ich denke, hinter der Visualisierung der Ruhelage als Parallele zur x-Achse steckt letztlich Folgendes:

- Wer von "Ruhelage", "Amplitude" usw. spricht, stellt sich eine SCHWINGUNG vor.

- Damit denkt er aber eigentlich nicht mehr in einen x-y-Koordinatensystem, sondern in einem t-x- (oder meinetwegen t-y-)- Diagramm. Die waagrechte Achse (unsere "x-Achse") ist dann in Wirklichkeit eine t-Achse, d. h. eine ZEIT-ACHSE.

- Die Ortskurve eines feststehenden (=ruhenden) Punktes im t-x-Diagramm ist natürlich eine waagrechte Gerade.

--> Daher die Visualisierung der Ruhelage als Parallele zur x-Achse im Artikel "Amplitude und Ruhelage der trigonometrischen Funktionen".
Renate 2016-07-21 10:38:22
FAZIT (zumindest für's Erste) bzw. Beantwortung deiner Frage:

Ich würde die Skizze im Artikel "Amplitude und Ruhelage der trigonometrischen Funktionen" zumindest erstmal so stehen lassen.

Denn die anschauliche Vorstellung einer im zeitlichen Verlauf dargestellten Schwingung scheint den Einen offenbar vertraut zu sein, und für die, denen sie nicht vertraut ist, braucht es mehr Erklärung o.ä. als lediglich die Änderung einer Graphik.

Den fraglichen Teilsatz in diesem Artikel hier würde ich jedoch einfach herauslöschen.

Gruß
Renate
Antwort abschicken
SebSoGa 2016-07-15 14:29:47
Hallo Rennate und Knorrke,
ich habe diese Kommentare zum größten Teil umgesetzt (nur die Graphiken zur Illustration der Tabelle fehlen). Was haltet ihr von der aktuellen Version? Insbesondere von der Lösung der zweiten Schreibweise mit der Vorsicht!-Bemerkung in einer zweiten Spalte.

Viele Grüße
Sebastian
Renate 2016-07-20 17:02:11
Also: zunächst mal die Bitte um Entschuldigung für die verspätete Antwort ;)

Dann zur Sache:

- Vielen Dank für die Arbeit; insbesondere der (geänderte) Text zu den Beispielapplets stellt meiner Meinung nach jetzt einen tragfähigen Kompromiss zwischen den Ansichten von Knorrke und mir dar. :)

- Vielen Dank auch für das "Einbauen" des "Vorsicht!"-Hinweises. Hier bin ich allerdings noch nicht ganz zufrieden; die "andere" Grundform der allgemeinen Sinusfunktion ist zu weit verbreitet, als das man sie so kurz abhandeln sollte. Lass uns einfach in einer der nächsten Redaktionssitzungen darüber sprechen - vielleicht reicht ja ein Beispiel o.ä.
Immerhin ist jetzt wenigstens der "Warnhinweis" da, das ist ja schon ein erster Schritt, danke!

- Die Graphiken zur Illustration der Tabelle sind mittlerweile offenbar auch von dir eingefügt worden - danke einstweilen!
Antwort abschicken
Zu article Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen: Vorschlag: Bezug zum allgemeineren Thema
Renate 2016-07-15 09:43:36
Könnte man in diesem Artikel nicht sehr sinnvoll einen Bezug herstellen zu den allgemeineren Serlo-Artikeln
"Funktionsgraphen verschieben" (https://de.serlo.org/1861),
"Funktionsgraphen stauchen und strecken" (https://de.serlo.org/1859) und
"Funktionsgraphen spiegeln" (https://de.serlo.org/2207)

- zumindest im Related Content, besser aber noch durch Bezugnahme (und Verweis mit Verlinkung) im Artikel ?
Antwort abschicken
Zu article Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen: Platzierung der Beispiele und Übungsaufgaben sowie Grundform der allg. Sinusfunktion
Renate 2016-07-13 23:34:18
Der Artikel enthält wirklich viele gute Elemente, insbesondere natürlich mit den drei Applets!

Zwei Anmerkungen hätte ich aber noch:

1. Der Text zu den beiden Beispielen und erst recht die Übungsaufgaben setzen eigentlich mehr oder weniger voraus, dass man das weiß, was erst DANACH im Abschnitt "Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen" zusammengestellt ist.
Ist das beabsichtigt?
Zumindest die Übungsaufgaben sollten meiner Meinung nach erst nach der Darstellung des Sachverhalts kommen, und auch bei den Beispielen sollte man darüber nachdenken.

2. Im Artikel geht man von der Grundform f(x)= a*sin (b(x+c)) +d aus, und nicht von der - ebenfalls manchmal zu findenden - Form f(x)=a*sin(bx+c) +d.
Das ist auch in Ordnung, aber vielleicht sollte man irgendwo einen Hinweis anbringen, zum Beispiel, dass man bei dieser "anderen" Form erst ausklammern muss, o.ä., (oder ein Beispiel bringen, in dem es vorgerechnet wird).
(Das allererste Beispiel in diesem Artikel, das unmittelbar vor der Einführung der allgemeinen Form im Anfangsteil steht, ist übrigens in der "anderen" Form ;). )

Gruß
Renate
Knorrke 2016-07-14 08:18:44
Hallo Renate,

die Beispiele würde ich da lassen, wo sie sind. Ich finde es ganz schön, dass zuerst an ein paar konkreten Beispielen angeschaut wird, was bei den Parametern mit der Ursprungsfunktion passiert. Finde das auch dort schön umgesetzt: zuerst die Applets zum Angucken und danach der Text, der die Beobachtung beschreibt.
Mit den Übungsaufgaben hast du Recht, die Eingebundenen müssen weiter runter. Ich könnte mir aber gut Aufgaben wie "Beschreibe, wie die Funktion f(x) = 3 sin(x) + 1 aus der Sinusfunktion hervorgeht" o.ä. vorstellen, da das genau das ist, was in den Beispielen auch gemacht wurde.

Bei 2. geb ich dir auch Recht, da muss man aufpassen und diese "Falle" am besten irgendwo explizit erwähnen.

Noch zwei Kleinigkeiten:
- Ich glaube a streckt in Y-Richtung, nicht in X-Richtung und b staucht in X-Richtung, nicht in Y-Richtung, oder?
- Bilder wären in der Übersichtstabelle schön... so ist das sehr trocken und man liest es sich nicht ganz durch.
Renate 2016-07-14 09:37:10
@knorrke: Danke für die Antwort - und gut zu wissen, dass es hier auch andere Sichtweisen gibt!

Aber: Entspricht das Schema "Beispiel zuerst - dann Theorie" richtlinienmäßig nicht eher einem Serlo-Kurs als einem Serlo-Artikel?
Ich bin mir da selbst nicht ganz sicher...

Mit der Streckung in y- bzw. x-Richtung durch a bzw. b gebe ich dir übrigens recht.
Antwort abschicken
SebSoGa 2016-07-13 11:36:49
Hallo Serlo-Team,

dieser Artikel ist super! Nur eine Kleinigkeit sollte verbessert werden: Die eingebundene Aufgaben sind Teilaufgaben einer ganzen Gruppe und die Aufgabenstellung wurde somit nicht übernommen. Man weiß also nicht was bei den einzelnen Aufgaben zu tun ist.
Viele Grüße und Gratulation zur starken Arbeit!

Sebastian
Renate 2016-07-13 21:27:25
Ich habe jetzt einen Aufgabentext dazu geschrieben - und ihn bewusst etwas anders formuliert, als er es in der Originalaufgabe war (wenn ich sie richtig gefunden habe, aber ich denke schon).
Die Absicht dahinter ist, dass es nicht allzu "doppelt" wirken soll, falls irgendwann doch wieder seitens der Technik der Aufgabentext der Über-Aufgabe bei den eingebundenen Aufgaben erscheint - so war das nämlich früher gelöst, aber das hat dann natürlich das Problem, dass der Text bei JEDER Unteraufgabe wieder erscheint.

Gruß
Renate
Antwort abschicken
Zu article Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen: Beschriftungen in Applets
Knorrke 2016-03-16 23:39:35
Hallo :)
die Applets sind total cool! Könntet ihr noch in den oberen beiden die Funktionsgleichung der gestrichelten Funktion einblenden, damit man noch deutlicher sieht, was die Zahlen damit machen? Fände ich schön :)
Und bei den eingebunden Aufgaben sollte man noch die Aufgabenstellung kopieren, im Moment sind die Bilder da etwas nichtssagend.
Ansonsten schöner Artikel!
Viele Grüße,
Benni
Antwort abschicken