Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen setzt man diese gleich $0$ und löst dann nach $x$ auf.

$f(x)=e^x\cdot (2x+x^2)$

$\Rightarrow$$e^x=0$

und $2x+x^2=0$

$e^x\ne 0$

$2x+x^2=0$

$x^2+2x=0$

$\to$Mitternachtsformel

$x_1{,}_2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 0}}{2\cdot 1}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm \sqrt{4-0}}{2}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm \sqrt{4}}{2}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm 2}{2}$

$x_1=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=\underline{0}$

$x_2=\frac{-2-2}{2}=\frac{-4}{2}=\underline{-2}$

Hier noch eine alternative Lösung:

$2x+x^2=0$

$x\cdot (2+x)=0$

$\Rightarrow x_1=0$

und

$2+x=0$

$\Rightarrow x_2=-2$

(natürlich kann man auch auf die Nullstellen von $2x+x^2$ durch probieren kommen; vielleicht sogar schneller)

Die Stammfunktion einer Funktion findet man durch integrieren. Hier müssen wir allerdings partiell integrieren:

$\int e^x\cdot (2x+x^2)dx$

$\int (2x+x^2)\cdot e^{x}dx$

$[(2x+x^2)\cdot e^x]-\int (x^2+\frac{1}{3}{x}^3)\cdot e^{x}dx$