Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen setzt man diese gleich $0$ und löst dann nach $x$ auf.

$f(x)=e^x \cdot (2x+x^2)$

$\Rightarrow$$e^x=0$

und $2x+x^2=0$

$e^x\neq0$

$2x+x^2=0$

$x^2+2x=0$

$\rightarrow$Mitternachtsformel

$x_1,_2=\frac{-b\pm\sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$x_1,_2=\frac{-2\pm\sqrt {2^2-4\cdot 1\cdot 0}}{2 \cdot 1}$

$x_1,_2=\frac{-2\pm\sqrt {4-0}}{2}$

$x_1,_2=\frac{-2\pm\sqrt {4}}{2}$

$x_1,_2=\frac{-2\pm2}{2}$

$x_1=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=\underline 0$

$x_2=\frac{-2-2}{2} =\frac{-4}{2}=\underline {-2}$

Hier noch eine alternative Lösung:

$2x+x^2=0$

$x\cdot(2+x)=0$

$\Rightarrow x_1=0$

und

$2+x=0$

$\Rightarrow x_2=-2$

(natürlich kann man auch auf die Nullstellen von $2x+x^2$ durch probieren kommen; vielleicht sogar schneller)

Die Stammfunktion einer Funktion findet man durch integrieren. Hier müssen wir allerdings partiell integrieren:

$\int e^x \cdot (2x+x^2)dx$

$\int (2x+x^2) \cdot e^xdx$

$[(2x+x^2)\cdot e^x]-\int (x^2+\frac {1}{3}x^3) \cdot e^xdx$