Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen setzt man diese gleich $00$ und löst dann nach $xx$ auf.

$f(x)=e^x\cdot (2x+x^2)f(x)=e^x\; \backslash cdot\; (2x+x^2)$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$$e^x=0e^x=0$

und $2x+x^2=02x+x^2=0$

$e^x\mathrm{\ne }0e^x\backslash neq0$

$2x+x^2=02x+x^2=0$

$x^2+2x=0x^2+2x=0$

$\to \backslash rightarrow$Mitternachtsformel

$x_1{,}_2=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x\_1,\_2=\backslash frac\{-b\backslash pm\backslash sqrt\; \{b^2-4ac\}\}\{2a\}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot 0}}{2\cdot 1}x\_1,\_2=\backslash frac\{-2\backslash pm\backslash sqrt\; \{2^2-4\backslash cdot\; 1\backslash cdot\; 0\}\}\{2\; \backslash cdot\; 1\}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm \sqrt{4-0}}{2}x\_1,\_2=\backslash frac\{-2\backslash pm\backslash sqrt\; \{4-0\}\}\{2\}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm \sqrt{4}}{2}x\_1,\_2=\backslash frac\{-2\backslash pm\backslash sqrt\; \{4\}\}\{2\}$

$x_1{,}_2=\frac{-2\pm 2}{2}x\_1,\_2=\backslash frac\{-2\backslash pm2\}\{2\}$

$x_1=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=\underset{‾}{0}x\_1=\backslash frac\{-2+2\}\{2\}=\backslash frac\{0\}\{2\}=\backslash underline\; 0$

$x_2=\frac{-2-2}{2}=\frac{-4}{2}=\underset{‾}{-2}x\_2=\backslash frac\{-2-2\}\{2\}\; =\backslash frac\{-4\}\{2\}=\backslash underline\; \{-2\}$

Hier noch eine alternative Lösung:

$2x+x^2=02x+x^2=0$

$x\cdot (2+x)=0x\backslash cdot(2+x)=0$

$\Rightarrow x_1=0\backslash Rightarrow\; x\_1=0$

und

$2+x=02+x=0$

$\Rightarrow x_2=-2\backslash Rightarrow\; x\_2=-2$

(natürlich kann man auch auf die Nullstellen von $2x+x^{2}2x+x^2$ durch probieren kommen; vielleicht sogar schneller)

Die Stammfunktion einer Funktion findet man durch integrieren. Hier müssen wir allerdings partiell integrieren:

$\int e^x\cdot (2x+x^2)dx\backslash int\; e^x\; \backslash cdot\; (2x+x^2)dx$

$\int (2x+x^2)\cdot e^{x}dx\backslash int\; (2x+x^2)\; \backslash cdot\; e^xdx$

$[(2x+x^2)\cdot e^x]-\int (x^2+\frac{1}{3}{x}^3)\cdot e^{x}dx[(2x+x^2)\backslash cdot\; e^x]-\backslash int\; (x^2+\backslash frac\; \{1\}\{3\}x^3)\; \backslash cdot\; e^xdx$