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Aufgaben

1.0 Gegeben ist die ganzrationale Funktion g dritten Grades mit %%D_g=\mathbb{R}%%, deren Graph %%G_g%% in nebenstehender Abbildung dargestellt ist. Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: %%G_g%% hat bei der Nullstelle %%x=6%% eine Tangente %%G_t%% mit %%t:y=16x-96%% mit %%x\in\mathbb{R}%% und besitzt den Wendepunkt %%W(5 |-18)%%.

1.1 Skizzieren Sie den Graphen %%G_g%% der 1. Ableitungsfunktion von g in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion %%g'%% an.

1.2.0 Zur Bestimmung des Funktionsterms g(x) ist folgendes Gleichungssystem gegeben:

%%(I)%% %%216a+36b+6c+d=0%%

%%(II)%% %%125a+25b+5c+d=-18%%

%%III)%% %%108a+12b+c=16%%

%%(IV)%% %%30a+2b=0%%

1.2.1 Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.

1.2.2 Bestimmen Sie g(x) mithilfe der Gleichungen aus 1.2.0.

2.0 Gegeben ist nun die Funktion %%f:=x\mapsto\frac1{10}\cdot g(x)=\frac1{10}(-x^3+15x^2-56x+12)%% mit %%D_f=\mathbb{R}%%, wobei g die Funktion aus Teilaufgabe %%1.2.2%% ist. Der Graph wird mit %%G_f%% bezeichnet.

2.1 Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen %%G_f%% mit den Koordinatenachsen.

2.2 Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von %%G_f%%. Runden Sie die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.

2.3 Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von %%G_f%%.

2.4 Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen %%G_f%% im Bereich %%-1\leqslant x\leqslant10%% in ein kartesisches Koordinatensystem.

Maßstab: %%1%% LE %%= 1cm%%.

2.5 Es gilt %%\int_{-2}^6f(x)dx=0%%. Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Bezug auf %%G_f%%.

2.6 Die Parabel %%G_p%% mit %%p(x)=-0,1x^2+0,4x+1,2%% und %%D_p=\mathbb{R}%% schließt mit %%G_f%% im I. und IV. Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein.
Zeichnen Sie %%G_p%% für %%-1\leqslant x\leqslant10%% in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das linke der beiden Flächenstücke und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.

3.0 Einer Halbkugel mit Radius %%R=10cm%% soll ein Zylinder mit Radius %%r%% und Höhe %%h%% einbeschrieben werden (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

Halbkugel

3.1 Ermitteln Sie die Maßzahl %%V(h)%% des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe %%h%% und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion %%V:h\mapsto V(h)%% an, wenn die Höhe %%h%% mindestens %%6 cm%% betragen soll.

[Mögliches Teilergebnis: %%V(h)=h\mathrm\pi(100-\mathrm h^2)%%]

3.2 Berechnen Sie %%h%% so, dass %%V(h)%% den absolut größten Wert annimmt, und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen %%V_{max}%% des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.

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