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Aufgaben

1.0 Der Graph %%G_f%% einer ganzrationalen Funktion %%f%% vierten Grades mit %%D_f=\mathbb{R}%% ist symmetrisch zur y-Achse und hat einen Wendepunkt %%W_1(1 | 2, 5)%%. Die Tangente %%G_t%% im Punkt %%W_1%% besitzt die Gleichung %%t:y=4x-1,5%% mit %%x\in\mathbb{R}%% .

1.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm %%f(x)%%.

[Mögliches Ergebnis: %%f(x)=-\frac12(x^4-6x^2)\rbrack%%

1.2 Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion %%f%% und deren Vielfachheit. Erklären Sie die Bedeutung der Vielfachheit dieser Nullstellen für den Graphen %%G_f%%.

1.3 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion %%f%% sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen %%G_f%%.

1.4 Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph %%G_f%% genau zwei Wendepunkte besitzt und geben Sie die Koordinaten des zweiten Wendepunkts an. Berechnen Sie auch die x-Koordinaten sämtlicher Punkte von %%G_f%%, welche die gleichen y-Koordinaten wie die Wendepunkte haben.

1.5 Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen %%G_f%% im Bereich %%-2,5\leqslant x\leqslant2,5%% in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der y-Achse der Bereich %%-5\leqslant x\leqslant5%% benötigt.

Maßstab: %%1%% LE %%= 1 cm%%.

1.6 Zeigen Sie, dass an der Stelle %%x=-2%% die Gleichung %%f(x)-f'(x)=0%% gilt und bestimmen Sie alle weiteren Stellen mit dieser Eigenschaft. Erklären Sie, was das Ergebnis für den Graphen %%G_f%% bedeutet.

1.7 Geben Sie exakt die Nullstellen und die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion %%f'%% an und zeichnen Sie den Graphen %%G_f%% im Bereich %%-2\leqslant x\leqslant2%% in das vorhandene Koordinatensystem mit Farbe ein.

1.8 Die Graphen %%G_f%% und %%G_{f'}%% schließen ein endliches Flächenstück ein, das im II. und III. Quadranten des Koordinatensystems liegt. Markieren Sie dieses Flächenstück und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Ist der Graph GhG_h einer ganzrationalen Funktion hh symmetrisch zur y-Achse, dann ist der Graph GhG_{h'} der ersten Ableitungsfunktion hh' punktsymmetrisch zum Ursprung.

3.0 Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius %%r=12cm%% und einem Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe %%h%% und dem Durchmesser %%b%% in der Grundfläche (siehe nebenstehende Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden.

Nachttischleuchte

3.1 Bestimmen Sie die Maßzahl %%V(h)%% des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von %%h%%.

[Mögliches Ergebnis: %%V(h)=\frac\pi3(-h^3+144h)%%]

3.2 Aus technischen Gründen wird für die Funktion %%V:h\mapsto V(h)%% als Definitionsbereich %%D_V=\lbrack2;8\rbrack%% gewählt.

Bestimmen Sie die Höhe %%h%% des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer würde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen.

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