Aufgaben
Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.
%%\vec{v} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \vec{w}=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{q=}\begin{pmatrix}0,5\\7\end{pmatrix}, \vec{p}= \begin{pmatrix}3,5\\49\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{x} =\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}, \vec{y}=\begin{pmatrix}2.1\\0\\1,5\end{pmatrix}%%
Ja, sie sind parallel.
Nein, sie sind nicht parallel.
%%\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\r\\2\end{pmatrix},\vec{g}=\begin{pmatrix}1/3\\4\\-4\end{pmatrix}%%
Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.
Für manche Werte von rr sind die Vektoren nicht parallel.
Für manche Werte von rr sind die Vektoren parallel.
Nein, die Vektoren können nicht parallel sein.
Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter rr vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren f\vec{f} und g\vec{g}.

Schritt 1: Mögliche Kandidaten für kk finden

Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.
f=(1/6r2),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}\mathbf{-1/6}\\r\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} \mathbf{1/3}\\4\\-4\end{pmatrix}
Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für kk zu finden.
Wir wollen, dass die Beziehung f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} gilt.
Das bedeutet, dass für jede einzelne Koordinate (bzw. Komponente) diese Beziehung gelten muss. Also zum Beispiel für die erste Koordinate (Komponente): 16=k13-\frac{1}{6} = k \cdot \frac13.Um kk zu erhalten musst du nur noch danach auflösen.
16:13=12\displaystyle -\frac{1}{6} : \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}

k=12k= -\frac{1}{2} ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} zu schreiben.
Beachte: Bis jetzt gilt dieses k=12k=-\frac12 nur für die erste Koordinate (Komponente).

Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete kk die Gleichung f=kg\vec{f} = k\cdot\vec{g} löst

Multipliziere dafür k=12k= -\frac{1}{2} mit g\vec{g} um nachzuprüfen, ob tatsächlich f\vec{f} rauskommt.
%%\begin{array}{lcr}k\cdot \vec{g} &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix} & = &\begin{pmatrix}-1/6\\-2\\2 \end{pmatrix}\\\end{array}%%
%%\begin{array}{lcr}\vec{f} &= &\begin{pmatrix}-1/6\\r\\2 \end{pmatrix}\end{array}%%
Die Vektoren kgk\cdot\vec{g} und f\vec{f} sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch. Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von rr finden, für die f\vec{f} und g\vec{g} parallel sind.
%%\begin{align} &\begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{r}\\2 \end{pmatrix}& &\stackrel{!}{=}& &\begin{pmatrix} -1/6\\\mathbf{-2}\\2\end{pmatrix}\end{align}%%

Diese Gleichheit ist nur für r=2r = -2 erfüllt. Nur dann gilt also f=kg.\vec{f} = k\cdot \vec{g}.
\Rightarrow Für r=2r = -2 sind f\vec{f} und g\vec{g} parallel.

Bemerkung zum Parameter rr

Für alle anderen Werte von rr können die Vektoren f\vec{f} und g\vec{g} nicht parallel sein.
Beispiel: Wenn du für rr Null einsetzt erhältst du die Vektoren
f=(1/602),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\0\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\4\\-4\end{pmatrix}

Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:
f=(1/602),g=(1/344)\vec{f} = \begin{pmatrix}-1/6\\\mathbf{0}\\2 \end{pmatrix}, \vec{g} = \begin{pmatrix} 1/3\\ \mathbf{4}\\-4\end{pmatrix}
Es gilt 0=040 = 0\cdot 4.
Damit also f=kg\vec{f} = k\cdot \vec{g} überhaupt gelten kann müsste also k=0k=0 sein. Dann wäre aber $$k\cdot \vec{g} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1/3\\ 4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\0\end{pmatrix}$$ und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich f\vec{f}.
\Rightarrow Für manche Werte von rr sind f\vec{f} und g\vec{g} nicht parallel.
Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von rr sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von rr sind sie nicht parallel.
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