Gegeben sind die Punkte %%A(0|0|0)%%, %%B(3|-6|6)%% und %%F(2|-4|4)%% sowie die Gerade

%%g:\vec X =\pmatrix{0\\-4\\5}+\lambda\cdot\pmatrix{-2\\0\\1}\;,\,\lambda\in\mathbb{R}%%

a)

(4 BE)

Die Gerade %%h%% verläuft durch die Punkte %%A%% und %%B%%. Zeigen Sie, dass sich %%g%% und %%h%% im Punkt %%F%% senkrecht schneiden.

b)

(1 BE)

Ein Punkt %%C%% liegt auf %%g%% und ist verschieden von %%F%%. Geben Sie die besondere Bedeutung der Strecke %%[CF]%% im Dreieck %%ABC%% an.

Teilaufgabe a)

Aus der Aufgabenstellung sind 3 Arbeitsaufträge herauszulesen:

  • Stelle die Geradengleichung durch %%A%% und %%B%% auf
  • Zeige, dass %%F%% sowohl auf Gerade %%g%% als auch auf Gerade %%h%% liegt
  • Weise nach, dass die beiden Geraden aufeinander senkrecht stehen

%%h%% ist Ursprungsgerade mit der Gleichung $$\begin{align} h:\vec{x}&= \mu \begin{pmatrix}3\\-6\\6\end{pmatrix} \end{align}$$

Wer sich streng an das Aufstellen einer Geradengleichung bei vorgegebenen 2 Punkten hält, der setzt an:

$$ \begin{align} h:\quad \vec{x} &= \vec{a} +\mu\cdot(\vec{b}-\vec{a}) \\ &= \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + \mu\cdot \begin{pmatrix}3-0\\-6-0\\6-0\end{pmatrix} \\ &=\mu \begin{pmatrix}3\\-6\\6\end{pmatrix} \end{align} $$

Es ist notwendig, dass die zweite Gerade einen andere Parameterbezeichnung - hier ist es %%\mu%% - erhält, sonst gibt es beim Aufstellen von Gleichungen und Suchen von Schnittpunkten große Probleme, weil man Terme zusammenfasst, die dafür nie vorgesehen waren.

Aber hier geht es etwas einfacher, denn der Schnittpunkt %%F%% ist schon bekannt und man muss nur zeigen, dass sich zu %%F%% bei der Geraden %%g%% eindeutig (also widerspruchsfrei) ein %%\lambda%% finden lässt und bei der Geraden %%h%% entsprechend eindeutig ein %%\mu%% !

%%F%% ist also tatsächlich Schnittpunkt von %%g%% und %%h% %%: %%F=g\cap h%%

Denn mit dem Ansatz

$$ \begin{align} \vec{f} &= \begin{pmatrix}0\\-4\\5\end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix} \end{align} $$

ergeben sich 3 Gleichungen:

$$ \begin{array}{lrcrr} (\text{I})& 2 &= &0 &- 2\cdot \lambda \\ (\text{II})& -4 &= &-4& \\ (\text{III})& 4 &= &5 & + \lambda \end{array} $$

Gleichungen I und III werden jeweils - widerspruchsfrei - durch %%\lambda=-1%% gelöst. Gleichung II ist allgemeingültig und somit immer erfüllt.

Entsprechend findet man, dass %%F(2|-4|4)\in h%% für %%\mu=\frac23%%.

Daher gilt insgesamt: %%F=g\cap h%% .

%%g%% steht senkrecht auf %%h%%: %%g\perp h%%

Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn sie außer der Existenz des Schnittpunkts auch noch zueinander senkrecht stehende Richtungsvektoren haben. Dies weißt man nach, indem man zeigt, dass das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren Null ist:

$$ \begin{align} \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}3\\-6\\6\end{pmatrix} &= -6+6 = 0 \end{align} $$

Es folgt die Behauptung der Teilaufgabe a. Die Geraden %g% und %h% schneiden sich also senkrecht im Punkt %F%.

Teilaufgabe b)

Zur Lösung der Aufgabe ist es am besten, wenn man eine kleine Skizze anfertigt:

Dann erkennt man sofort: %%[CF]%% ist im Dreieck %%ABC%% die Höhe zur Grundlinie %%[AB]%%, da die Strecke %%[CF]%% immer senkrecht auf der Grundlinie %%[AB]%% steht, weil die Gerade %g% senkrecht auf der Geraden %h% steht.