Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)

Für das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform

$\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\overrightarrow{n}[\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)]=0$  

oder

$\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}=0$

umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.

Dieses Vorgehen lässt sich in folgender Formel zusammenfassen:

$d(P;E)=\frac{1}{\left|\overrightarrow{n}\right|}\overrightarrow{n}\circ [\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)]$

oder

$d(P;E)=\frac{n_1{p}_1+n_2{p}_2+n_3{p}_3+d}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}$

Vorgehen am Beispiel

Gesucht ist der Abstand des Punktes $P(2|2|3)$ von der Ebene E mit der Gleichung $E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)+l\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right)$.

Der Abstand von $P$ zu $E$ beträgt also genau $3$ Längeneinheiten.

Bedeutung der Betragsstriche

Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel für $d(P;E)$ lässt sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusätzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt $P$ liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:

• $d(P;E)>0$: $P$ liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt

• $d(P;E)<0$: $P$ liegt auf der anderen Seite der Ebene