Aufgaben

Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion %%f(x) = ax^2 + bx + c%%. Die Punkte %%\mathrm{R}(1|2)%%, %%\mathrm{Q}(-1|3)%% und %%\mathrm{S}(0|1)%% liegen auf dem Graphen der Funktion %%f%%.

Du möchtest nun mithilfe dieser Informationen auf die Parameter %%a%%, %%b%% und %%c%% schließen.

Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten aa, bb und cc auf.
Tipp: Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Der Funktionsgraph hat die Gleichung y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.
Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt R\mathrm{R} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt R(12)\mathrm{R}(1|2) in die Gleichung ein.
2=a12+b1+c2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c
Du erhältst deine erste Gleichung.
I2=a+b+c\mathrm{I}\quad 2 = a + b + c

  \;

Punkt Q\mathrm{Q} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt Q(13)\mathrm{Q}(-1|3) in die Gleichung ein.
3=a(1)2+b(1)+c3 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c
Du erhältst deine zweite Gleichung.
II3=ab+c\mathrm{II}\quad 3 = a - b + c

  \;

Punkt S\mathrm{S} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt S(01)\mathrm{S}(0|1) in die Gleichung ein.
1=a(0)2+b0+c1 = a\cdot (0)^2 + b\cdot 0 + c
Du erhältst deine dritte Gleichung.
III1=c\mathrm{III}\quad 1 = c

  \;
Das Gleichungssystem lautet also:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}%%

Löse das Gleichungssystem.
Tipp: Setze die Gleichung III\mathrm{III} in Gleichung I\mathrm{I} und II\mathrm{II} ein. Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}%%

Aus der dritten Gleichung folgt direkt:
c=1c = 1
Setze c=1c = 1 in die anderen beiden Gleichungen ein:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &a& + &b& + &1&\\\mathrm{II'} &3& = &a& - &b& + &1&\\\end{array}%%

Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen I\mathrm{I'} und II\mathrm{II'}.
  \;
Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable bb mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.

Addiere die Gleichung I\mathrm{I'} zu II\mathrm{II'}. Du erhältst eine neue Gleichung I\mathrm{I''}.
%%\begin{array}{rlrl}\mathrm{I'} + \mathrm{II'} \rightarrow \mathrm{I''} &| &5 &= &2a &+ &2 \\\end{array}%%
Löse nach der Unbekannten aa auf.
a=32a = \frac{3}{2}

  \;
Setze a=32a = \frac{3}{2} in Gleichung I\mathrm{I'} ein, um den Parameter bb zu bestimmen.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &\frac{3}{2}& + &b& + &1&\\\end{array}%%
Löse nach bb auf.
b=12b = -\frac{1}{2}

  \;

Gib die Lösungsmenge an:
L={(abc)R3a=32 ; b=12 ; c=1}\displaystyle \mathbb{L}=\{(a|b|c) \in \mathbb{R^3}|a=\frac{3}{2}\ ;\ b=-\frac{1}{2} \ ;\ c =1\}
Bestimme - falls möglich - die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme.
I4u+3vw=2II3u4v+5w=5III2u+2v+w=6\begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungssysteme

Man kann das Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.
I4u+3vw=2II3u4v+5w=5III2u+2v+w=6\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&4 u&+&3 v&-& w&=&2\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{III}&-2 u&+&2 v&+& w&=&6\end{array}
Wähle die Variable ww und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von ww:
kgV(1;1;5)=5\displaystyle \mathrm{kgV}(1;1;5)=5^{ }
Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes ww den Koeffizienten 5 hat.
5II20u+15v5w=10II3u4v+5w=55IIIIII10u+10v+5w=30\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{5\cdot I\to I'}&20u&+&15v&-& 5w&=&10\\\mathrm{II}&-3 u&-&4 v&+&5 w&=&-5\\\mathrm{5\cdot III\to III'}&-10u&+&10v&+&5w&=&30\end{array}
Dann addierst du I\mathrm{I}' und II\mathrm{II} und subtrahierst I\mathrm{I}' von III\mathrm{III}'.
I20u+15v5w=10II+III17u+11v=5IIIIIII30u5v=20\displaystyle \begin{array}{rcccccc}\mathrm{I'}&20 u&+&15 v&-&5 w&=&10\\\mathrm{II+I'\to II'}&17u&+&11 v&&&=&5\\\mathrm{III'-I'\to III''}&-30u&-&5 v&& &=&20\end{array}
Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus II\mathrm{II'} und III\mathrm{III''} besteht.
Dazu wählst du die Variable vv und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:
kgV(5;11)=55\displaystyle \mathrm{kgV}(5;11)=55_{ }
Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:
5IIII85u+55v=2511IIIIII(4)330u55v=220\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{5\cdot II'\to II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{11\cdot III''\to III^{(4)}}&-330u&-&55v&=&220\end{array}
Addiere II\mathrm{II''} und III(4)\mathrm{III^{(4)}}, um vv zu eliminieren.
II85u+55v=25III(4)+IIIII(5)245u=245\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(4)}+II''\to III^{(5)}}&-245u&&&=&245\end{array}
Nun löst du III(5)\mathrm{III^{(5)}} nach uu auf und setzt seinen Wert in II\mathrm{II}'' ein.
II85u+55v=25III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II''}&85u&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
u=1 in IIII85(1)+55v=25III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}u=-1\text{ in }\mathrm{II''\to II'''}&85\cdot (-1)&+&55v&=&25\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
IIv=2III(5)u=1\displaystyle \begin{array}{rccccc}\mathrm{II'''}&&&v&=&2\\\mathrm{III^{(5)}}&u&&&=&-1\end{array}
Nun setzt du die beiden Werte in I\mathrm{I'} ein und löst nach ww auf.
u=1 und v=2 in II20(1)+1525w=10105w=10105w=0:(5)w=0\begin{array}{rrcll}u=-1\text{ und }v=2\text{ in }\mathrm{I'\to I''}&20\cdot(-1)+15\cdot 2-5w&=&10\\&10-5w&=&10&|-10\\&-5w&=&0&|:(-5)\\&w&=&0\end{array}
Insgesamt erhälst du die Lösungsmenge
L={(1;2;0)}\displaystyle L=\{(-1;2;0)\}
I2x+10y5z=1II10x30y+3z=1III4x+15y2z=1\begin{array}{rcccccc}\mathrm{I}&2 x&+&10 y&-&5 z&=&-1\\\mathrm{II}&10 x&-&30 y&+&3 z&=&-1\\\mathrm{III}&-4 x&+&15 y&-&2 z&=&1\end{array}
Kommentieren Kommentare