In einer Fensterscheibe sind vier gleiche, farbige Glasscheiben eingesetzt.Sie haben jeweils die Form einer Raute (siehe Abbildung).Berechne die Gesamtfläche des farbigen Glases. (4 Punkte)
Hinweis: Skizze nicht Maßstabgetreu.
Maße in cm.
Rautenfigur zur Flächenberechnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Um die Gesamtfläche des farbigen Glases zu berechnen, kannst du sie zuerst in vier gleiche Rauten aufteilen. Den Flächeninhalt dieser Rauten kannst du wiederum als vier kongruente, rechtwinklige Dreiecke berechnen, die entstehen, wenn du bei der Raute die Diagonalen einzeichnest.
Die kleinen kongruenten, rechtwinkligen Dreiecke werden während dem Rechnen als Dreieck Δ\Delta bezeichnet.

Berechnung der längeren Kathete von Dreieck Δ\Delta

Um den Flächeninhalt von Dreiecken Δ\Delta zu berechnen, werden die Längen von beiden Katheten des Dreiecks benötigt, da diese als Höhe und Breite des Dreiecks verwendet werden können.
Die längere Kathete kannst du berechnen, indem du zuerst die 10 cm lange Strecke von der 50 cm langen Hälfte der Seite des gesamten, quadratischen Spiegels subtrahierst. Dadurch erhältst du die längere Diagonale der Raute.
50  cm10  cm=40  cm50\;\mathrm{cm}-10\;\mathrm{cm}=40\;\mathrm{cm}
Du teilst nun die längere Diagonale der Raute durch zwei, um die längere Kathete von Dreieck Δ\Delta zu erhalten
40  cm:2=20  cm40\;\mathrm{cm}:2=20\;\mathrm{cm}

Berechnung der kürzeren Kathete von Dreieck Δ\Delta

Du kannst nun den Satz des Pythagoras anwenden, um die zweite, kürzere Kathete von Dreieck Δ\Delta zu berechnen. Du kennst die Länge der ersten Kathete (20 cm) und der Hypotenuse (25cm), da die Hypotenuse gleichzeitig auch die Seite von einer der Rauten ist, von der die Länge schon in der Skizze angegeben ist.
x²  cm2+202  cm2=252  cm2x^²\;\mathrm{cm}^2+20^2\;\mathrm{cm}^2=25^2\;\mathrm{cm}^2
Von beiden Seiten der Gleichung subtrahierst du 202  cm220^2\;\mathrm{cm}^2.
x²  cm2=252  cm2202  cm2x^²\;\mathrm{cm}^2=25^2\;\mathrm{cm}^2-20^2\;\mathrm{cm}^2
Ziehe die Wurzel nun auf beiden Seiten der Gleichung.
x  cm=252  cm2202  cm2x\;\mathrm{cm}=\sqrt{25^2\;\mathrm{cm}^2-20^2\;\mathrm{cm}^2}
x  cm=625  cm2400  cm2x\;\mathrm{cm}=\sqrt{625\;\mathrm{cm}^2-400\;\mathrm{cm}^2}
x  cm=225  cm2x\;\mathrm{cm}=\sqrt{225\;\mathrm{cm}^2}
x  cm=15  cmx\;\mathrm{cm}=15\;\mathrm{cm}
Da nun beide Kathetenlängen, bzw. die Höhe und die Breite bekannt sind, kannst du nun den Flächeninhalt von Dreieck Δ\Delta bestimmen.
AΔ=1220  cm15  cm=150  cm2A_\Delta= \frac{1}{2}\cdot20\;\mathrm{cm}\cdot15\;\mathrm{cm}=150\;\mathrm{cm}^2
Du erhältst die Gesamtfläche des farbigen Glases, wenn du den gerade eben bestimmten Flächeninhalt von Dreieck Δ\Delta mit 16 multiplizierst, da die Gesamtfläche aus vier kongruenten Rauten besteht, welche sich wiederum jeweils aus vier kongruenten Dreiecken zusammensetzen.
Agesamt=44AΔ=16AΔA_{\text{gesamt}}=4\cdot4\cdot A_\Delta=16\cdot A_\Delta
=16150  cm2=16\cdot150\;\mathrm{cm}^2
=2400  cm2=2400\;\mathrm{cm}^2
Die Gesamtfläche des farbigen Glases AgesamtA_{\text{gesamt}} ist 2400  cm22400\;\mathrm{cm}^2 groß.