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Aufgaben
Löse folgende Gleichung. (4 Punkte)
18(2x+6)=122x+2+3x+84\frac{1}{8}\cdot(2x+6) = \frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x+8}{4}

Videolösung

Textlösung

Für diese Aufgabe brauchst du das Lösen von linearen Gleichung und die Addition und Multiplikation von Brüchen.

182x+186=122x+2+3x+84\displaystyle \frac{1}{8}\cdot2x + \frac{1}{8} \cdot 6=\frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x+8}{4}
Fasse die linke Seite soweit wie möglich zusammen. Multipliziere hierzu auf der linken Seite der Gleichung den Bruch 18\frac{1}{8} mit dem jeweiligen Faktor. Kürze dabei den entstandenen Bruch auch so weit wie möglich!

14x+34=122x+2+3x+84\displaystyle \frac{1}{4}x+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x+8}{4}
Löse den Bruch rechts auf, indem du 3x3x und 88 durch 44 teilst. Anschließend teilst du den Bruch in 3x8\frac{3x}{8} und 84=2\frac{8}{4}=2 auf.

14x+34=122x+2+3x4+2\displaystyle \frac{1}{4}x+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}-2x+2+\frac{3x}{4}+2
Vereinfache beide Seiten, indem du die Zahlen zusammenfasst und alles was von xx abhängig ist.
Zusätzlich kannst du, um schöner weiterzurechnen, alles in Dezimalzahlen umformen.

0,25x+0,75=4,51,25x+1,25x\displaystyle 0,25x+0,75=4,5-1,25x\qquad \qquad|+1,25x
Addiere als nächstes 1,25x1,25x auf beiden Seiten.
1,5x+0,75=4,50,75\displaystyle 1,5x+0,75=4,5\qquad\qquad|-0,75
Subtrahiere anschließend auf beiden Seiten 0,750,75.

1,5x=3,75:(1,5)\displaystyle 1,5x=3,75 \qquad|:(1,5)
Teile auf beiden Seiten durch 1,51,5.
x=2,5\displaystyle x = 2,5

a) Zeichne in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1cm die Punkte A (7|5) und C (5|7) ein und verbinde sie zur Strecke [AC].

b) Zeichne die Senkrechte zur Strecke [AC] durch den Punkt A.

c) Zeichne den Punkt D (5|3) ein. Wähle den Punkt B so, dass das Parallelogramm ABCD entsteht und zeichne es.

d) Der Punkt D soll die Strecke [AH] halbieren. Zeichne den Punkt H entsprechend ein und gib seine Koordinaten an.

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe benötigst du das Zeichnen eines Koordinatensystems mit dem Einzeichnen von Punkten.

Koordinatensystem mit Punkten

Verbinde die Punkte A und C mit einer Strecke.

Koordinatensystem mit Strecke

Lösung zur Teilaufgabe b)

Zeichne eine Senkrechte zur Strecke AC, die durch den Punkt A läuft.

Koordinatensystem mit senkrechter Strecke

Lösung zur Teilaufgabe c)

Zeichne den Punkt D bei %%(5|3)%%.

Koordinatensystem mit Punkt D

Zeichne die Strecke CD.

Koordinatensystem mit Stecke CD

Zeichne eine Parallele zur Strecke CD durch den Punkt A.

Koordinatensystem mit parallelen Gerade

Zeichne ebenso eine Parallele zur Strecke AC durch den Punkt D. An der Stelle wo sich die beiden Geraden kreuzen, ist der gesuchte Punkt B. Zeichne ihn ein und du erhälst ein Parallelogramm.

Koordinatensystem mit Parallelogramm

Alternativlösung

Zeichne ebenso eine Parallele zur Strecke AD durch den Punkt C. An der Stelle wo sich die beiden Geraden kreuzen, ist der gesuchte Punkt B. Zeichne ihn ein und du erhälst ein Parallelogramm.

Koordinatensystem mit Parallelogramm

Lösung zur Teilaufgabe d)

Messe die Strecke AD und übertrage sie auf die gegenüberliegende Seite von D.
Der Punkt, der von D gleichweit entfernt ist, wie der Punkt A, ist dein neuer Punkt H.

Koordinatensystem mit Punkt H

Alternativlösung mit Koordinatenvergleich

Alternativ kannst du dich auch an der x-Achse orientieren. %%A%% ist bei %%x=7%%, %%D%% ist bei %%5%%. Der Abstand zwischen %%A%% und %%D%% beträgt %%7 - 5 = 2%%. Der Abstand zwischen %%D%% und %%H%% muss genauso groß sein, also muss %%H%% bei %%5 - 2 = 3%% liegen.

Also %%H%% muss bei %%x=3%% sein.

Für die %%y%%-Koordinate kannst du genauso vorgehen:

%%A%% ist bei %%y=5%%, %%D%% ist bei %%3%%. Der Abstand zwischen %%A%% und %%D%% beträgt %%5- 3 = 2%%. Der Abstand zwischen %%D%% und %%H%% muss genauso groß sein, also muss %%H%% bei %%3 - 2 = 1%% liegen.

Also %%H%% muss bei %%y=1%% sein.

Der Punkt %%H%% liegt bei %%(3|1)%%.

In einer Fensterscheibe sind vier gleiche, farbige Glasscheiben eingesetzt.Sie haben jeweils die Form einer Raute (siehe Abbildung).Berechne die Gesamtfläche des farbigen Glases. (4 Punkte)
Hinweis: Skizze nicht Maßstabgetreu.
Maße in cm.
Rautenfigur zur Flächenberechnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Dreiecks

Videoerklärung
Um die Gesamtfläche des farbigen Glases zu berechnen, kannst du sie zuerst in vier gleiche Rauten aufteilen. Den Flächeninhalt dieser Rauten kannst du wiederum als vier kongruente, rechtwinklige Dreiecke berechnen, die entstehen, wenn du bei der Raute die Diagonalen einzeichnest.
Die kleinen kongruenten, rechtwinkligen Dreiecke werden während dem Rechnen als Dreieck Δ\Delta bezeichnet.

Berechnung der längeren Kathete von Dreieck Δ\Delta

Um den Flächeninhalt von Dreiecken Δ\Delta zu berechnen, werden die Längen von beiden Katheten des Dreiecks benötigt, da diese als Höhe und Breite des Dreiecks verwendet werden können.
Die längere Kathete kannst du berechnen, indem du zuerst die 10 cm lange Strecke von der 50 cm langen Hälfte der Seite des gesamten, quadratischen Spiegels subtrahierst. Dadurch erhältst du die längere Diagonale der Raute.
50  cm10  cm=40  cm50\;\mathrm{cm}-10\;\mathrm{cm}=40\;\mathrm{cm}
Du teilst nun die längere Diagonale der Raute durch zwei, um die längere Kathete von Dreieck Δ\Delta zu erhalten
40  cm:2=20  cm40\;\mathrm{cm}:2=20\;\mathrm{cm}

Berechnung der kürzeren Kathete von Dreieck Δ\Delta

Du kannst nun den Satz des Pythagoras anwenden, um die zweite, kürzere Kathete von Dreieck Δ\Delta zu berechnen. Du kennst die Länge der ersten Kathete (20 cm) und der Hypotenuse (25cm), da die Hypotenuse gleichzeitig auch die Seite von einer der Rauten ist, von der die Länge schon in der Skizze angegeben ist.
x²  cm2+202  cm2=252  cm2x^²\;\mathrm{cm}^2+20^2\;\mathrm{cm}^2=25^2\;\mathrm{cm}^2
Von beiden Seiten der Gleichung subtrahierst du 202  cm220^2\;\mathrm{cm}^2.
x²  cm2=252  cm2202  cm2x^²\;\mathrm{cm}^2=25^2\;\mathrm{cm}^2-20^2\;\mathrm{cm}^2
Ziehe die Wurzel nun auf beiden Seiten der Gleichung.
x  cm=252  cm2202  cm2x\;\mathrm{cm}=\sqrt{25^2\;\mathrm{cm}^2-20^2\;\mathrm{cm}^2}
x  cm=625  cm2400  cm2x\;\mathrm{cm}=\sqrt{625\;\mathrm{cm}^2-400\;\mathrm{cm}^2}
x  cm=225  cm2x\;\mathrm{cm}=\sqrt{225\;\mathrm{cm}^2}
x  cm=15  cmx\;\mathrm{cm}=15\;\mathrm{cm}
Da nun beide Kathetenlängen, bzw. die Höhe und die Breite bekannt sind, kannst du nun den Flächeninhalt von Dreieck Δ\Delta bestimmen.
AΔ=1220  cm15  cm=150  cm2A_\Delta= \frac{1}{2}\cdot20\;\mathrm{cm}\cdot15\;\mathrm{cm}=150\;\mathrm{cm}^2
Du erhältst die Gesamtfläche des farbigen Glases, wenn du den gerade eben bestimmten Flächeninhalt von Dreieck Δ\Delta mit 16 multiplizierst, da die Gesamtfläche aus vier kongruenten Rauten besteht, welche sich wiederum jeweils aus vier kongruenten Dreiecken zusammensetzen.
Agesamt=44AΔ=16AΔA_{\text{gesamt}}=4\cdot4\cdot A_\Delta=16\cdot A_\Delta
=16150  cm2=16\cdot150\;\mathrm{cm}^2
=2400  cm2=2400\;\mathrm{cm}^2
Die Gesamtfläche des farbigen Glases AgesamtA_{\text{gesamt}} ist 2400  cm22400\;\mathrm{cm}^2 groß.

In den Jahren 2012 bis 2014 wurden in jeder Altersgruppe jeweils 1200 Jugendliche befragt, ob sie ein Smartphone besitzen. (4 Punkte)

Statistiken Smartphonebesitzer

a) Berechne den prozentualen Anstieg der Smartphone-Besitzer von 2012 auf 2014 in der Altersgruppe der 14- bis 15-Jährigen.

b) In der Altersgruppe der 18- und 19-Jährigen stieg die Anzahl der Smartphone-Besitzer von 2013 auf 2014 um %%11,25%% %. Ermittle rechnerisch, wie viele Jugendliche dieser Altersgruppe demnach 2014 ein Smartphone besaßen.

c) Im Jahr 2014 wurden zusätzlich %%1200%% Jugendliche im Alter zwischen 12 und 13 Jahren befragt. %%80%% % besaßen ein Smartphone, %%15%% % besaßen keines, der Rest machte keine Angabe. Stelle das Ergebnis dieser Umfrage in einem Kreisdiagramm mit Radius 4cm dar.

Videolösung

Lösung zur Teilaufgabe a)

Für diese Teilaufgabe solltest du Prozentrechnung mittels Dreisatz beherrschen.
Berechne wie viel mehr Jugendliche im Jahr 2014 ein Smartphone besaßen als im Jahr 2012.
1080564=5161080 - 564 = 516
Berechne wie viel Prozent 516516 von 564564 sind. Teile dafür zunächst 516516 durch 564564.
516:564=0,91489..516 : 564 = 0,91489..
Nehme dein Ergebnis mit 100100 mal, um zu erfahren, wie viele Prozent das sind.
0,91489100=91,49%0,91489 \cdot 100 = 91,49\% \Rightarrow Der Anteil der Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, ist von 2012 bis 2014 um 91,49%91,49\% gestiegen.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Auch für diese Teilaufgabe solltest du Prozentrechnung mittels Dreisatz beherrschen.
Berechne, wie viele Jugendliche einem Prozent entsprechen, indem du die Anzahl 2013 (960960) durch 100100 teilst.
960:100=9,6960:100 = 9,6
Ein Prozent sind also 9,69,6 Jugendliche. Multipliziere dies mit der Gesamtprozentzahl: Grundsätzlich sind 2013 100%100\% Jugendliche Smartphonebesitzer und 2014 sind es 11,25%11,25\% mehr, also sind es insgesamt 100%+11,25%=111,25%100\%+11,25\%=111,25\% .
Multipliziere also 9,69,6 mit 111,25111,25:
9,6111,25=10689,6\cdot 111,25=1068
\Rightarrow Im Jahr 2014 nutzen 10681068 18- bis 19- jährige ein Smartphone.

Lösung zur Teilaufgabe c)

Für diese Teilaufgabe solltest du ein Kreisdiagramm zeichnen können, außerdem brauchst du wieder die Prozentrechnung mittels Dreisatz.
Berechne die Winkel für die jeweilige Antwort. Berechne, wie groß der Winkel für 1%1\% ist, indem du den Vollwinkel 360°360° durch 100100 teilst.
360°:100=3,6°360°:100=3,6°
Ein Prozent ist also ein Winkel von 3,6°3,6°. Multipliziere die Prozentangaben aus der Aufgabe mit 3,6°3,6°.
Ja \Rightarrow 3,6°80=288°3,6° \cdot 80 = 288° Nein \Rightarrow 3,6°15=54°3,6° \cdot 15 = 54°
Berechne die Prozentzahl bei keine Angabe.
Keine Angabe \Rightarrow 1008015=5100 - 80 - 15 = 5
Multipliziere die berechnete Prozentangaben mit 3,6°3,6°.
3,6°5=18°3,6° \cdot 5 = 18°

Zeichne einen Kreis mit dem Radius 4cm. Trage die oben berechneten Winkel ein.
Kreisdiagramm
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