Die Eisdiele Abruzzo verkaufte an einem Samstag insgesamt 540 Kugeln Eis. Sie bietet die Sorten Schokolade, Vanille, Zitrone und Erdbeere an.

Vom Vanilleeis wurden 40 Kugeln weniger verkauft als vom Zitroneneis. Von der Sorte Erdbeere wurden viermal so viele Kugeln verkauft wie von der Sorte Vanille. Vom Schokoladeneis wurden 80 Kugeln verkauft.

Wie viele Kugeln Eis wurden von jeder Sorte verkauft? Löse mit Hilfe einer Gleichung. (4 Punkte)

Lösung zur Aufgabe 1

Hier musst du wissen, wie du Gleichungen löst.
Wir führen zunächst folgende Abkürzungen ein:
Schokolade = SS Erdbeere = EE Vanille = VV Zitrone = ZZ
Es ist sinnvoll, Abkürzungen zu verwenden, um sich Schreibarbeit zu sparen, es müssen aber natürlich nicht genau die gleichen sein.

Gleichung aufstellen

Schreibe in einer Gleichung auf, was du über die Gesamtheit der Eiskugeln weißt.
540=S+Z+V+E540 = S + Z + V + E

Wähle eine Eissorte aus, deren Kugelanzahl du mit xx bezeichnest, und schreibe die übrigen in Abhängigkeit von xx.
Nehme dabei nicht Schokolade, weil du hier die Anzahl bereits kennst. Wir verwenden in dieser Lösung Zitroneneis als Bezugsgröße.
S=80S = 80 Z=xZ = x
Übersetze "vom Vanilleeis wurden 40 Kugeln weniger verkauft als vom Zitroneneis" in eine Formel für die Berechnung von der Anzahl der Vanilleeiskugeln.
V=x40V = x - 40
Übersetze "von der Sorte Erdbeere wurden viermal so viele Kugeln verkauft wie von der Sorte Vanille." in eine Formel für die Berechnung von der Anzahl der Erdbeereiskugeln.
E=4V=4(x40)E = 4\cdot V= 4 \cdot (x- 40)
Setze die Ergebnisse in die oberste Gleichung ein.

Gleichung lösen

540=80+x+x40+4(x40)540 = 80 + x + x - 40 + 4 \cdot (x-40)
Multipliziere die Klammer aus.
540=2x+40+4x160540 = 2x +40 + 4x -160
Addiere "gleiches".
540=6x120+120540 = 6x - 120\qquad \qquad\qquad\qquad\,\,\qquad|+120
Sorge dafür, dass xx alleine auf einer Seite steht, indem du den Summanden subtrahierst.
660=6x:6660 = 6x \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad | : 6
Sorge dafür, dass xx alleine auf einer Seite steht, indem du durch den Faktor teilst.
110=x110 = x

Jetzt weißt du wie viele Kugeln Vanille verkauft wurden und kannst mit dieser Information die Anzahl der übrigen Sorten berechnen.
Setze dafür dein Ergebnis für x in die am Anfang erarbeiteten Formeln für die einzelnen Sorten.
V=11040=70V = 110 -40 = 70 E=4(11040)=470=280E = 4 \cdot (110 - 40 ) = 4 \cdot 70 = 280


Probe

Falls du dir nicht sicher bist, kannst du am Ende noch die Probe machen, indem du alle Ergebnisse in die Formel für die Gesamtheit aller Kugeln steht.
540=S+Z+V+E540=80+110+70+280540=540\begin{array}{rcll} 540 &= & S + Z + V + E &\\ 540 &= & 80 + 110 + 70 + 280 &\\ 540 &= & 540 & \end{array}
Richtig\Rightarrow \text{Richtig}
Es wurden also 80 Kugeln Schokoladeneis, 110 Kugeln Zitroneneis, 70 Kugeln Vanilleeis und 280 Kugeln Erdbeereis verkauft.

Lösungsalternative: Drücke die Werte in Abhängigkeit des Vanilleeises aus

Führe zunächst folgende Abkürzungen ein:
Schokolade = SS Erdbeere = EE Vanille = VV Zitrone = ZZ

Schreibe alle Informationen aus der Angabe als Gleichung.Schreibe ZZ und EE in Abhängigkeit von VV.
540=S+Z+E+V540 = S + Z + E + V S=80S = 80 Z=V+40Z = V + 40

E=4VE = 4 \cdot V
Setze alle Informationen in die oberste Gleichung ein.
540=S+Z+E+V540 = S + Z + E + V =80+Z+E+V= 80 + Z + E + V =80+V+40+E+V= 80 + V + 40 + E + V

=80+V+40+4V+V= 80 + V + 40 + 4 \cdot V + V
Kürze und löse die Gleichung auf.
540=80+V+40+4V+V540=120+V+40+4V+V540=120+6V120420=6V:670=V\begin{array}{rcll} 540 &= &80 + V + 40 + 4 \cdot V + V & \\ 540 &= &120+ V+ 40 +4 \cdot V+V &\\ 540 &= & 120 + 6V &|-120 \\ 420 &= &6V &|:6\\ 70 &= &V \end{array}

Übertrage das Ergebnis auf die obigen Gleichungen.

S=80S = 80 V=70V = 70 Z=V+40=70+40=110Z = V + 40 = 70 + 40= 110 E=4V=470=280E = 4 \cdot V = 4 \cdot 70 = 280

Überprüfe dein Ergebnis.
540=S+Z+E+V540=80+110+280+70540=190+280+70540=260+280540=540\begin{array}{rcll} 540 &=& S+Z+E+V &\\ 540 &=& 80+110+280+70 &\\ 540 &=& 190+280+70 &\\ 540 &=& 260+280&\\ 540 &=& 540\end{array}
Richtig\Rightarrow \text{Richtig}
Es wurden also 80 Kugeln Schokoladeneis, 70 Kugeln Vanilleeis, 110 Kugeln Zitroneneis und 280 Kugeln Erdbeereis verkauft.