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Aufgaben
Die Eisdiele Abruzzo verkaufte an einem Samstag insgesamt 540 Kugeln Eis. Sie bietet die Sorten Schokolade, Vanille, Zitrone und Erdbeere an.
Vom Vanilleeis wurden 40 Kugeln weniger verkauft als vom Zitroneneis. Von der Sorte Erdbeere wurden viermal so viele Kugeln verkauft wie von der Sorte Vanille. Vom Schokoladeneis wurden 80 Kugeln verkauft.
Wie viele Kugeln Eis wurden von jeder Sorte verkauft?Löse mit Hilfe einer Gleichung. (4 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen lösen

Für diese Aufgabe musst du aus der Angabe Gleichungen bauen und diese dann lösen.

Schritt für Schritt Videolösung

Schritt für Schritt Textlösung

Es ist sinnvoll, Abkürzungen zu verwenden, um sich Schreibarbeit zu sparen. Du kannst aber gerne andere benutzen als in dieser Lösung.
Hier schreiben wir:
Schokolade = SS Erdbeere = EE Vanille = VV Zitrone = ZZ

Gleichung aufstellen

Du weißt, dass es insgesamt 540 Eiskugeln gibt. Das kannst du auch in einer Gleichung schreiben:
540=S+Z+V+E540=S+Z+V+E
Nun kannst du Stück für Stück die Anzahl der Eiskugeln rausfinden. Wir wissen schon, dass es 80 Schokoladenkugeln sind.

S=80\displaystyle S=80
Um die Anzahl der anderen Kugeln zu berechnen, brauchen wir nun Gleichungen. Dafür ist es hilfreich, alles immer Nach einer Unbkannten aufzulösen.
In dieser Lösung nehmen wir das Zitroneneis dafür. Falls du lieber nach Vanilleeis auflösen möchtest, klicke hier.

Vanilleeis: Übersetze "vom Vanilleeis wurden 40 Kugeln weniger verkauft als vom Zitroneneis" in eine Gleichung ür die Berechnung von der Anzahl der Vanilleeiskugeln.
V=Z40\displaystyle V = Z - 40
Erdbeereis: Übersetze "von der Sorte Erdbeere wurden viermal so viele Kugeln verkauft wie von der Sorte Vanille." in eine Formel für die Berechnung von der Anzahl der Erdbeereiskugeln.
E=4V=4(Z40)\displaystyle E = 4\cdot V= 4 \cdot (Z- 40)
Nun kannst du alles in die obere Gleichung einfügen.

Gleichung lösen

540540==S+Z+V+E\textcolor{ff6600}S+Z+\textcolor{009999}V+\textcolor{660099}E
Setze ein.
540540==80+Z+Z40+4(Z40)\textcolor{ff6600}{80} + Z + \textcolor{009999}{Z - 40} + \textcolor{660099} {4 \cdot (Z-40)}
Multipliziere die Klammer aus.
540540==2Z+40+4Z1602 \cdot Z+40+4 \cdot Z-160
Addiere "gleiches"
540540 ==6Z1206 \cdot Z - 120|+120+120
660660==6Z6Z|:6:6
110110 ==ZZ
Es wurden also 110 Kugeln Zitroneneis verkauft. Jetzt kannst mit dieser Information die Anzahl der übrigen Sorten berechnen.
Setze dafür dein Ergebnis für Z Z in die am Anfang erarbeiteten Formeln für die einzelnen Sorten.
V=Z40=11040=70V = Z-40= 110-40 = 70 E=4(Z40)=4(11040)=470=280E = 4 \cdot (Z - 40 ) = 4 \cdot (110-40)= 4 \cdot 70 = 280
Antwort: Es wurden also 80 Kugeln Schokoladeneis, 110 Kugeln Zitroneneis, 70 Kugeln Vanilleeis und 280 Kugeln Erdbeereis verkauft.

Probe

Falls du dir nicht sicher bist, kannst du am Ende noch die Probe machen, indem du alle Ergebnisse in die Formel für die Gesamtheit aller Kugeln steht.
540=S+Z+V+E540=80+110+70+280540=540\begin{array}{rcll} 540 &= & S + Z + V + E &\\ 540 &= & 80 + 110 + 70 + 280 &\\ 540 &= & 540 & \end{array}
Richtig\Rightarrow \text{Richtig}

Lösungsalternative: Drücke die Werte in Abhängigkeit des Vanilleeises aus

Schreibe für die Anzahl der Zitronenkugeln (Z) und der Erdbeerkugeln (E) in Abhängigkeit von der Anzahl der Vanillekugeln (V).
Zitroneneis: Laut Angabe wurden 40 Kugeln mehr Zitroneneis als Vanilleeis genommen:
Z=V+40\displaystyle Z=V+40
Erdbeereis: Laut Angabe wurden 4 Mal so viele Kugeln Erdbeereis als Vanilleeis verkauft.
E=4V\displaystyle E=4 \cdot V
Setze alle Informationen in die oberste Gleichung ein.
540540==S+Z+E+V\textcolor{ff6600}S + \textcolor{009999}Z + \textcolor{660099}E + V
Setze ein
540540==80+V+40+4V+V\textcolor{ff6600}{ 80} + \textcolor{009999}{V + 40} + \textcolor{660099}{4\cdot V }+ V
Addiere "Gleiches"
540540==120+6V120+6\cdot V|120-120
420420==6V6\cdot V|:6:6
7070==VV
Es wurden also 70 Kugeln Vanilleeis verkauft. Damit kannst du nun auch Z Z und E E berechnen:

Z=V+40=70+40=110\displaystyle Z= V+40=70+40=110
E=4V=470=280\displaystyle E= 4\cdot V= 4 \cdot 70=280
Es wurden also 80 Kugeln Schokoladeneis, 70 Kugeln Vanilleeis, 110 Kugeln Zitroneneis und 280 Kugeln Erdbeereis verkauft.
Wen du magst, kannst du die Proobe machen:
540=S+Z+E+V540=80+110+280+70540=190+280+70540=260+280540=540\begin{array}{rcll} 540 &=& S+Z+E+V &\\ 540 &=& 80+110+280+70 &\\ 540 &=& 190+280+70 &\\ 540 &=& 260+280&\\ 540 &=& 540\end{array}
Richtig\Rightarrow \text{Richtig}

a) Zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 5 cm.

b) Berechne den Flächeninhalt des Secksecks.

(4 Punkte)

Lösung zur Teilaufgabe a)

Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.

Zeichne einen Kreis mit dem Radius %%5cm%%. Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.

Sechseckkonstruktion Schritt 1

Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius %%5cm%%. An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte C und D. Verbinde C und D mit B.

Sechseckkonstruktion Schritt 2

Fahre ebenso mit den Punkten C und D fort.

Sechseckkonstruktion Schritt 3

Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt E oder den Punkt F durch.

Fertige Sechseckkonstruktion

Lösung zur Teilaufgabe b)

Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.

Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.

Skizze Flächeninhaltsberechnung Sechseck

Berechne zunächst die Höhe(h) eines Dreiecks mit Hilfe des Satz des Pythagoras. Dabei ist %%[AC]%% die Hypotenuse und %%[AO]%% und %%[OC]%% (was die Höhe ist, die in Zukunft mit %%h%% abgekürzt wird) sind die Katheten.

Gleichseitiges Dreieck

%%\overline{AO}^2 + \overline{OC}^2 = \overline{AC}^2%%

Schreibe anstelle von %%\overline{AO}%% die Variable %%h%%.

%%h^2 + \overline{OC}^2 = \overline{AC}^2%%

%%\overline{AC}%% ist der Radius. Daher weißt du, dass %%\overline{AC}%% %%5%% cm lang ist.

%%h^2 + \overline{OC}^2 = (5 cm)^2%%

Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. %%\overline{OC}%% ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von %%5%% cm, also %%\frac12 \cdot 5cm=2,5%%cm.

Warum sind die kleinen Dreiecke gleichseitig?

Eine Vollwinkel sind %%360°%%. Damit ist jeder Winkel in der Mitte %%360°:6=60°%% groß. Beide Seiten von der Mitte zum Rand sind gleich lang, weil es sich beide Male um den Radius handelt. Deshalb muss es ein gleichschenkliges Dreieck sein. Die beiden anderen Winkel sind deswegen gleich groß: %%(180°-60°):2=60°%% (Berechnung mit Hilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck). Also sind alle Winkel im Dreieck gleich groß und damit ist es gleichseitig.

%%h^2 + (2,5cm)^2 = (5 cm)^2%%

Stelle nach %%h%% um, indem du %%(2,5cm)^2%% subtrahierst.

%%h^2=(5cm)^2- (2,5cm)^2%%

Berechne die Quadrate.

%%h^2=25cm^2 - 6,25cm^2 \\= 18,75cm^2%%

Ziehe die Wurzel.

%%h=\sqrt{18,75cm^2}=4,33cm%%

Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel %%A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h%% berechnen.

Setze in diese Formel %%5 cm%% für die Länge der Grundseite und %%4,33 cm%% für die Höhe ein.

%%A_D= 0,5\cdot a \cdot h\\= 0,5 \cdot 5cm \cdot 4,33cm%%

Rechne den Wert aus.

%%A_D=10,825cm^2%%

Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.

%%A_G = 6 \cdot A_D%%

Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.

%%=6 \cdot 10,825cm^2%%

%%=64,95cm^2%%

%%\Rightarrow%% Das Sechseck ist insgesamt %%64,95 cm²%% groß.

Charlotte interessiert sich für ein Mountainbike, einen Helm und ein Paar Knieschoner. (4 Punkte)
a) Das Mountainbike kostet 550€. Da es sich um ein Auslaufmodell handelt, erhält sie auf diesen Preis 12% Rabatt.Berechne den neuen Fahrradpreis.
b) Der Helm ist um 20% reduziert und kostet jetzt noch 79€.Ermittle rechnerisch, wie viele Euro sie beim Kauf des Helms spart.
c) Der Preis der Knieschoner beträgt einschließlich Mehrwertsteuer 49,98€. Hier bekommt sie die Mehrwertsteuer von 19% ,,geschenkt''.Gib den Aktionspreis für die Knieschoner an.
d) Charlotte kauft nur den Helm. Bei Barzahlung erhält sie auf ihren Einkauf nochmals 2% Skonto.Berechne wie viel sie bezahlen muss.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Dreisatz

Videolösung

Textlösung

Lösung zur Teilaufgabe a)

Berechne dazu, wie viel Euro einem Prozent entspricht, indem du den ursprünglichen Preis (550550 \,€) durch 100100 teilst.
550:100=5,5550€:100=5,5€
Multipliziere dein Ergebnis (5,55,5\,€) mit 1212, um zu erfahren, wie viel Euro 1212 Prozent entsprechen.
5,512=665,5€⋅12=66€
Ziehe dein Ergebnis (6666€) vom Anfangspreis (550550€) ab.
550€−66=484550€−66€=484€
Der neue Preis für das Fahrrad beträgt 484484€.

Lösung zur Teilaufgabe b)

Wie viel spart Charlotte beim Kauf des Helmes?
Der Helm ist um 20%20\% reduziert, das heißt, der Helm kostet jetzt 100%20%=80%100\%-20\%=80\% des ursprünglichen Preises.
Teile den neuen Preis (7979€) durch 8080, um zu erfahren, wie viel Euro einem Prozent entsprechen.
79:80=0,987579€:80=0,9875€
Nehme dein Ergebnis mal 100100, um dein Anfangspreis zu erhalten.
0,9875100=98,750,9875€⋅100=98,75€
Ziehe von deinem Ergebnis (98,7598,75€) den neuen Preis (7979€) ab.
98,75€−79=19,7598,75€−79€=19,75€
⇒ Sie spart 19,7519,75€.

Teilaufgabe c)

Wie viel kosten die Knieschoner?
Der Preis inklusive der Mehrwertsteuer ist der gesamte Preis, also 100%100\% und die Mehrwertsteuer 19%19\% , also zusammen 100%+19%=119%100\%+19\%=119\% .
Teile den Anfangspreis (49,9849,98€) durch 119119, um dein Preis zu erfahren, der einem Prozent entspricht.
49,98:119=0,4249,98€:119=0,42€
Nehme das Ergebnis (0,420,42€) mit 100100 mal, um den neuen Preis zu erfahren.
0,42100=420,42€⋅100=42€
⇒ Der neue Preis für die Knieschoner beträgt 4242€.

Teilaufgabe d)

Wie viel muss Charlotte insgesamt bezahlen?
Skonto ist ein Preisnachlass.
Du weißt, dass der Helm 7979€ kostet. Charlotte muss aber nur 100%2%=98100\%-2\%= 98% davon zahlen. Teile deinen Anfangspreis (79)(79€) durch 100100.
79:100=0,7979€:100=0,79€
Multipliziere dein Ergebnis (0,79)(0,79€) mit 9898, um den neuen Preis zu erhalten.
0,7998=77,420,79€⋅98=77,42€
⇒ Charlotte muss insgesamt 77,4277,42€ zahlen.
Aus einem Zylinder mit dem Radius r=5 dmr = 5\ \text{dm} und der Körperhöhe hk=12 dmh_k = 12\ \text{dm} wird ein Viertel herausgeschnitten.Berechne die gesamte Oberfläche des entstandenen Körpers. (4 Punkte)
Hinweis: Skizze nicht maßstabgetreu
Zylinderkörper zur Oberflächenberechnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders

Videoerklärung
Schreibe zunächst die Formel für die allgemeine Berechnung der Oberfläche eines Zylinders auf.
OZylinder=2Grundfla¨che+Mantelfla¨che\displaystyle O_{Zylinder}=2\cdot\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}
Berechne erst den Flächeninhalt einer Grundfläche. Beachte dabei, dass es sich hier nicht um einen Ganzen, sondern um einen Dreiviertel-Kreis handelt. (Ein Viertel wurde herausgeschnitten, wie auf der Skizze oben zu sehen.)
AGrundfla¨che=34r2π\begin{array}{l}A_{Grundfläche}={\textstyle\frac34}\cdot r^2\cdot\mathrm\pi\\\end{array}
Setze für den Radius 5dm5\, dm ein und berechne das Ergebnis.
AG=345  dm  5  dmπ=754π  dm2\textstyle A_G=\frac34\cdot5\;dm\;\cdot5\;dm\cdot\mathrm\pi=\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2
Berechne als Nächstes den Flächeninhalt des Mantels:
AMantelfla¨che=  abA_{Mantelfläche}=\;a\cdot b
Hier die Mantellänge nicht gleich dem Kreisumfang ist, sondern nur gleich einem Dreiviertel des Kreisumfangs (UKreis=2rπU_{Kreis}=2r\pi) und zweimal die Länge der Rechtecke.
Mantelbreite  b  =  12  dmMantella¨nge  a  =  3425  dm    π  +  5  dm  +  5  dm  =152π  dm  +  10  dm\begin{array}{l}\\\text{Mantelbreite}\;b\;=\;12\;dm\\\text{Mantellänge}\;a\;=\;\frac34\cdot 2\cdot 5\;dm\;\cdot\;\mathrm\pi\;+\;5\;\mathrm{dm}\;+\;5\;\mathrm{dm}\;=\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}\;+\;10\;\mathrm{dm}\end{array}
Setze aa und bb in die Formel ein.
AMantelfla¨che=  12  dm    (152π  dm+10  dm)402,74  dm2A_{Mantelfläche}=\;12\;dm\;\cdot\;(\frac{15}2\mathrm\pi\;\mathrm{dm}+10\;\mathrm{dm})\approx402,74\;dm^2
Setze zum Schluss die Grund- und Mantelfläche in die Oberflächenformel vom ersten Schritt ein, und rechne dabei die gesamte Oberfläche des Zylinders aus.
OZylinder=2Grundfla¨che+Mantelfla¨cheOGesamt  2754π  dm2+402,74  dm2520,55  dm2\begin{array}{l}O_{Zylinder}=2⋅\text{Grundfläche}+\text{Mantelfläche}\\O_{Gesamt}\approx\;2\cdot\frac{75}4\mathrm\pi\;\mathrm{dm}^2+402,74\;\mathrm{dm}^2\approx520,55\;\mathrm{dm}^2\end{array}
Die Oberfläche des Körpers ist also 520,55  dm2520,55\;\mathrm{dm}^2.
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