Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.

Zeichne einen Kreis mit dem Radius $5\ cm$. Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.

Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius $5\ cm$. An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte $C$ und $D$. Verbinde $C$ und $D$ mit $B$.

Fahre ebenso mit den Punkten $C$ und $D$ fort.

Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt $E$ oder den Punkt $F$ durch.

Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.

Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.

Berechne zunächst die Höhe ($h$) eines Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras. Dabei ist $[AC]$ die Hypotenuse und $[AO]$ und $[OC]$ (was die Höhe ist, die in Zukunft mit $h$ abgekürzt wird) sind die Katheten.

$\overline{AO}^2+\overline{OC}^2=\overline{AC}^2$

Schreibe anstelle von $\overline{AO}$ die Variable $h$.

$h^2+\overline{OC}^2=\overline{AC}^2$

$\overline{AC}$ ist der Radius. Daher weißt du, dass $\overline{AC}$ $5$ cm lang ist.

$h^2+\overline{OC}^2=(5\ cm)^2$

Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. $\overline{OC}$ ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von $5\ cm$, also $\frac{1}{2}\cdot5\ cm=2{,}5\ cm$.

$h^2+(2{,}5\ cm)^2=(5\ cm)^2$

Stelle nach $h$ um, indem du $(2{,}5\ cm)^2$ subtrahierst.

$h^2=(5\ cm)^2-(2{,}5\ cm)^2$

Berechne die Quadrate.

$h^2=25~cm^2 - 6{,}25~cm^2 \\= 18{,}75~cm^2$

Ziehe die Wurzel.

$h=\sqrt{18{,}75\ cm^2}=4{,}33\ cm$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ berechnen.

Setze in diese Formel $5\ cm$ für die Länge der Grundseite und $4{,}33\ cm$ für die Höhe ein.

$A_D= 0{,}5\cdot a \cdot h\\= 0{,}5 \cdot 5~cm \cdot 4{,}33~cm$

Rechne den Wert aus.

$A_D=10{,}825\ cm^2$

Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.

$A_G=6\cdot A_D$

Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.

$=6\cdot10{,}825\ cm^2$

$=64{,}95\ cm^2$

$\Rightarrow$ Das Sechseck ist insgesamt $64{,}95\ cm^2$ groß.