Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.

Zeichne einen Kreis mit dem Radius $5cm5\backslash \; cm$. Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.

Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius $5cm5\backslash \; cm$. An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte $CC$ und $DD$. Verbinde $CC$ und $DD$ mit $BB$.

Fahre ebenso mit den Punkten $CC$ und $DD$ fort.

Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt $EE$ oder den Punkt $FF$ durch.

Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.

Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.

Berechne zunächst die Höhe ($hh$) eines Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras. Dabei ist $[AC][AC]$ die Hypotenuse und $[AO][AO]$ und $[OC][OC]$ (was die Höhe ist, die in Zukunft mit $hh$ abgekürzt wird) sind die Katheten.

${\overline{AO}}^2+{\overline{OC}}^2={\overline{AC}}^2\backslash overline\{AO\}^2+\backslash overline\{OC\}^2=\backslash overline\{AC\}^2$

Schreibe anstelle von $\overline{AO}\backslash overline\{AO\}$ die Variable $hh$.

$h^2+{\overline{OC}}^2={\overline{AC}}^{2}h^2+\backslash overline\{OC\}^2=\backslash overline\{AC\}^2$

$\overline{AC}\backslash overline\{AC\}$ ist der Radius. Daher weißt du, dass $\overline{AC}\backslash overline\{AC\}$ $55$ cm lang ist.

$h^2+{\overline{OC}}^2=(5cm{)}^{2}h^2+\backslash overline\{OC\}^2=(5\backslash \; cm)^2$

Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. $\overline{OC}\backslash overline\{OC\}$ ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von $5cm5\backslash \; cm$, also $\frac{1}{2}\cdot 5cm=\mathrm{2,5}cm\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot5\backslash \; cm=2\{,\}5\backslash \; cm$.

$h^2+(\mathrm{2,5}cm{)}^2=(5cm{)}^{2}h^2+(2\{,\}5\backslash \; cm)^2=(5\backslash \; cm)^2$

Stelle nach $hh$ um, indem du $(\mathrm{2,5}cm{)}^2(2\{,\}5\backslash \; cm)^2$ subtrahierst.

$h^2=(5cm{)}^2-(\mathrm{2,5}cm{)}^{2}h^2=(5\backslash \; cm)^2-(2\{,\}5\backslash \; cm)^2$

Berechne die Quadrate.

$h^2=25c{m}^2-\mathrm{6,25}c{m}^2=\mathrm{18,75}c{m}^{2}h^2=25~cm^2\; -\; 6\{,\}25~cm^2\; \backslash \backslash =\; 18\{,\}75~cm^2$

Ziehe die Wurzel.

$h=\sqrt{\mathrm{18,75}c{m}^2}=\mathrm{4,33}cmh=\backslash sqrt\{18\{,\}75\backslash \; cm^2\}=4\{,\}33\backslash \; cm$

Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel $A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot hA\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; h$ berechnen.

Setze in diese Formel $5cm5\backslash \; cm$ für die Länge der Grundseite und $\mathrm{4,33}cm4\{,\}33\backslash \; cm$ für die Höhe ein.

$A_D=\mathrm{0,5}\cdot a\cdot h=\mathrm{0,5}\cdot 5cm\cdot \mathrm{4,33}cmA\_D=\; 0\{,\}5\backslash cdot\; a\; \backslash cdot\; h\backslash \backslash =\; 0\{,\}5\; \backslash cdot\; 5~cm\; \backslash cdot\; 4\{,\}33~cm$

Rechne den Wert aus.

$A_D=\mathrm{10,825}c{m}^{2}A\_D=10\{,\}825\backslash \; cm^2$

Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.

$A_G=6\cdot A_{D}A\_G=6\backslash cdot\; A\_D$

Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.

$=6\cdot \mathrm{10,825}c{m}^2=6\backslash cdot10\{,\}825\backslash \; cm^2$

$=\mathrm{64,95}c{m}^2=64\{,\}95\backslash \; cm^2$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Das Sechseck ist insgesamt $\mathrm{64,95}c{m}^{2}64\{,\}95\backslash \; cm^2$ groß.