Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

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B 2.0 Das Rechteck $A B C D$ ist die Grundfläche des Quaders $A B C D E F G H$ . Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .

Es gilt: $A B = 7,5 cm; B C = 10 cm; A E = 13 cm$

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Quaders $A B C D E F G H$ , wobei die Strecke $[A B]$ auf der Schrägbildachse und $A$ links von $B$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q = 0,5; ω = 45 °$ .

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $E B A$ .

[Ergebnis: $∢ E B A = 60,02 °$ ]

B 2.2 Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[B E]$ . Die Winkel $B A P_{n}$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0 °; 90 °]$ .

Die Punkte $P_{n}$ sind die Spitzen von Pyramiden $A B C D P_{n}$ mit der Grundfläche $A B C D$ und den Höhen $[P_{n} T_{n}]$ .

Zeichnen Sie die Strecke $[B E]$ sowie die Pyramide $A B C D P_{1}$ für $φ = 55 °$ und ihre Höhe $[P_{1} T_{1}]$ in die Zeichnung zu B 2.1 ein.

B 2.3 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C D P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt:

V (φ) = \frac{162,50 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 60,02 °)} {cm}^{3}

[Teilergebnis: $A P_{n} (φ) = \frac{6,5}{\sin (φ + 60,02 °)} {cm}^{3}$ ]

B 2.4. Das gleichschenklige Dreieck $A D P_{2}$ hat die Basis $[D P_{2}]$ .

Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $A B C D P_{2}$ am Volumen des Quaders $A B C D E F G H$ .

B 2.5 Unter den Strecken $[A P_{n}]$ hat die Strecke $[A P_{3}]$ die minimale Länge.

Bestimmen Sie das zugehörige Winkelmaß $φ$ sowie die Länge der Strecke $[A P_{3}]$ .

Zeichnen Sie sodann die Strecke $[A P_{3}]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

B 2.6 Begründen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden $A B C D P_{n}$ gilt:

V_{A B C D P_{n}} \leq \frac{1}{3} \cdot V_{A B C D E F G H}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.1

Schrägbild des Quaders

In dieser Teilaufgabe ist das Schrägbild des Quaders $A B C D E F G H$ gesucht.

Zunächst musst du wissen, was die Schrägbildachse ist und wie sie verläuft. Strecken entlang der Schrägbildachse bzw. Bildebene werden in wahrer Länge gezeichnet. Im Folgenden kannst du dir die einzelnen Schritte anschauen, indem du auf den "weiter"-Button klickst.

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Berechnung des Winkels $∢ E B A$

Den Winkel $∢ E B A$ kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.

In deiner Formelsammlung unter der Überschrift "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" findest du folgende Gleichung.

\tan φ = \frac{y}{x} = \frac{Länge der Gegenkathete}{Länge der Ankathete}

Daraus folgt:

\begin{array}{rcl} \tan ∢ E B A & = & \frac{13 cm}{7,5 cm} \\ ∢ E B A & \approx & {60,02}^{\circ} \end{array}

Das Winkelmaß des Winkels $∢ E B A$ beträgt ${60,02}^{\circ}$ .

Lösung zur Teilaufgabe B 2.2

Gegeben ist, dass die Punkte $P_{n}$ auf der Strecke $[BE]$ liegen. Außerdem soll in der Zeichnung der Winkel $φ = ∢ B A P_{n} = 55^{\circ}$ sein. Der Punkt $P_{n}$ liegt in der Fläche $EBA$ und somit in der Fläche der Vorderseite des Quaders. Nun zeichnest du die Strecke $[B E]$ und die Höhe $[P_{1} T_{1}]$ ein.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.3

Gesucht ist das Volumen der Pyramide $A B C D P_{n}$ .

Das Volumen einer Pyramide wird allgemein berechnet durch $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ .

1) Bestimmen der Grundfläche der Pyramide $A B C D P_{n}$

Die Grundfläche $G$ der Pyramide $A B C D P_{n}$ ist das Rechteck $A B C D$ . Den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechnest du durch Länge mal Breite:

G = A_{ABCD} = A B \cdot B C = 7,5 cm \cdot 10 cm = 75 {cm}^{2}

Die Grundfläche der Pyramide $A B C D P_{n}$ beträgt also $75 {cm}^{2}$ .

2) Bestimmen der Höhe der Pyramide $A B C D P_{n}$

Die Höhe $h$ der Pyramide $A B C D P_{n}$ ist die Strecke $[P_{n} T_{n}]$ mit der Länge $P_{n} T_{n} (φ)$ . Diese berechnest du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck:

$\sin (φ) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$\sin (φ) = \frac{P_{n} T_{n} (φ)}{A P_{n} (φ)}$

${P_{n} T}_{n} (φ) = \sin (φ) \cdot A P_{n} (φ)$

Nun berechnest du $A P_{n} (φ)$ in Abhängigkeit von $φ$ mithilfe des Sinussatzes:

\begin{array}{rcl} \frac{A P_{n} (φ)}{\sin ∢ P_{n} B A} & = & \frac{A B}{\sin (180 ° - (φ + ∢ P_{n} B A))} \\ \frac{A P_{n} (φ)}{\sin ∢ P_{n} B A} & = & \frac{A B}{\underset{S u p p l e m e n t b e z i e h u n g}{\underset{⏟}{\sin (φ + ∢ P_{n} B A)}}} \\ A P_{n} (φ) & = & \frac{A B \cdot \sin ∢ P_{n} B A}{\sin (φ + ∢ P_{n} B A)} \\ A P_{n} (φ) & = & \frac{7,5 \cdot \sin 60,02 °}{\sin (φ + 60,02 °)} \\ A P_{n} (φ) & = & \frac{6,50}{\sin (φ + 60,02 °)} cm \end{array}

Daraufhin setzt du $A P_{n} (φ)$ in die Gleichung für ${P_{n} T}_{n} (φ)$ ein:

\begin{array}{rcl} P_{n} T_{n} (φ) & = & \sin (φ) \cdot A P_{n} (φ) \\ = & \sin (φ) \cdot \frac{6,50}{\sin (φ + 60,02 °)} \\ P_{n} T_{n} (φ) & = & \frac{6,50 \cdot \sin (φ)}{\sin (φ + 60,02 °)} cm \end{array}

3) Einsetzen in die Volumenformel

Damit erhältst du für das Volumen $V (φ)$ der Pyramide $A B C D P_{n}$ :

\begin{array}{rcl} V (φ) & = & \frac{1}{3} \cdot A_{A B C D} \cdot P_{n} T_{n} (φ) \\ V (φ) & = & [\frac{1}{3} \cdot 75 \cdot \frac{6,50 \cdot \sin (φ)}{\sin (φ + 60,02 °)}] {cm}^{3} \\ V (φ) & = & [\frac{162,5 \cdot \sin (φ)}{\sin (φ + 60,02 °)}] {cm}^{3} \end{array}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.4

Der Quader $A B C D E F G H$ besitzt das Volumen

V_{Q u a d e r} = (7,5 \cdot 10 \cdot 13) = 975 {cm}^{3} .

Da die Strecke $A D = 10 cm$ lang ist, muss auch $A P_{2} = 10 cm$ sein.

Du setzt einfach in die Gleichung von B 2.3 ein:

\begin{array}{rcl} A P_{n} (φ) & = & \frac{6,50}{\sin (φ + 60,02 °)} \\ 10 & = & \frac{6,50}{\sin (φ + 60,02 °)} \\ \sin (φ + 60,02 °) & = & \frac{6,50}{10} \\ φ_{1} + 60,02 ° \approx 40,54 ° & \land & φ_{2} + 60,02 ° \approx 139,46 ° \\ φ_{1} = - 19,48 ° & \land & φ_{2} = 79,44 ° \end{array}

Da $φ \in] 0 °; 90 °]$ , muss der gesuchte Winkel $φ = 79,44 °$ sein.

Setze nun $φ = 79,44 °$ in die Volumenformel der Pyramide aus Aufgabe B 2.3 ein:

\begin{array}{rcl} V (79,44 °) & = & [\frac{162,5 \cdot \sin (79,44 °)}{\sin (79,44 ° + 60,02 °)}] {cm}^{3} \\ V (79,44 °) & \approx & 245,77 {cm}^{3} \end{array}

Nun musst du nur noch den prozentualen Anteil des Volumens der "kleinen" Pyramide am Volumen des "großen" Quaders angeben:

p = \frac{V_{P y r a m i d e}}{V_{Q u a d e r}} = \frac{245,77}{975} \approx 0,2521 = 25,21 %

Lösung zur Teilaufgabe B 2.5

Wenn die Länge der Strecke $[P_{3} T_{3}]$ minimal sein soll, muss es sich bei $[P_{3} T_{3}]$ um das Lot von $A$ auf die Strecke $[B E]$ handeln.

Da der Winkel $∢ E B A$ das Maß $60,02$ ° besitzt und es sich beim Dreieck $A B P_{3}$ um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, muss für $∢ B A P_{3} = φ_{3}$ gelten:

∢ B A P_{3} = 180 ° - (90 ° + 60,02 °) = 29,98 °

Setze den Winkel $φ_{3} = ∢ B A P_{3} = 29,98 °$ in $A P_{n} (φ) = \frac{6,50}{\sin (φ + 60,02 °)} cm$ ein:

$A P_{3} = \frac{6,50}{\sin (29,98 ° + 60,02 °)} = \frac{6,50}{\sin (90 °)} = 6,50 cm$

Alternative Lösung:

Mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich dann für die Länge $A P_{3}$ :

\begin{array}{rcl} \frac{A P_{3}}{A B} & = & \sin ∢ E B A \\ A P_{3} & = & A B \cdot \sin ∢ E B A \\ A P_{3} & = & 7,5 \cdot \sin 60,02 ° \\ A P_{3} & \approx & 6,50 cm \end{array}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.6

Zunächst überlegst du, wann die Pyramide $A B C D P_{n}$ das maximale Volumen besitzt:

Eine Veränderung von $φ$ ändert nur $P_{n}$ und damit nur die Höhe der Pyramide, die Grundfläche bleibt dabei immer gleich.

Daher kannst du sagen, die Pyramide $A B C D P_{n}$ hat ihr maximales Volumen bei $φ = 90 °$ .

In diesem Fall ist $P_{n} T_{n} = A E$ , und damit gilt

V_{A B C D P_{n}} = \frac{1}{3} \cdot V_{A B C D E F G H} .

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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?