B 2.0 Das Rechteck ABCDABCD ist die Grundfläche des Quaders ABCDEFGHABCDEFGH. Der Punkt EE liegt senkrecht über dem Punkt AA.
Es gilt: AB‾=7,5cm;BC‾=10cm;AE‾=13cm\overline{AB}=7,5 \text{cm}; \overline{BC}=10 \text{cm}; \overline{AE}=13 \text{cm}
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild des Quaders ABCDEFGHABCDEFGH, wobei die Strecke [AB][AB] auf der Schrägbildachse und AA links von BB liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q=0,5; ω=45°q=0,5;\ \omega=45\degree.
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels EBAEBA.
[Ergebnis: ∢EBA=60,02°\sphericalangle EBA = 60,02 \degree]
B 2.2 Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [BE][BE]. Die Winkel BAPnBAP_n haben das Maß φ\varphi mit φ∈]0°;90°]\varphi \in ]0 \degree; 90 \degree].
Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPnABCDP_n mit der Grundfläche ABCDABCD und den Höhen [PnTn][P_nT_n].
Zeichnen Sie die Strecke [BE][BE] sowie die Pyramide ABCDP1ABCDP_1 für φ=55°\varphi=55 \degree und ihre Höhe [P1T1][P_1T_1] in die Zeichnung zu B 2.1 ein.
B 2.3 Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen VV der Pyramiden ABCDPnABCDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:
V(φ)=162,50⋅sin⁡φsin⁡(φ+60,02°)cm3\displaystyle V(\varphi)=\dfrac{162,50 \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi + 60,02 \degree) }\text{cm}^3
[Teilergebnis: APn‾(φ)=6,5sin⁡(φ+60,02°)cm3\overline{AP_n}(\varphi) = \frac{6,5}{\sin (\varphi + 60,02 \degree)}\text{cm}^3]
B 2.4. Das gleichschenklige Dreieck ADP2ADP_2 hat die Basis [DP2][DP_2].
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide ABCDP2ABCDP_2 am Volumen des Quaders ABCDEFGHABCDEFGH.
B 2.5 Unter den Strecken [APn][AP_n] hat die Strecke [AP3][AP_3] die minimale Länge.
Bestimmen Sie das zugehörige Winkelmaß φ\varphi sowie die Länge der Strecke [AP3][AP_3].
Zeichnen Sie sodann die Strecke [AP3][AP_3] in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
B 2.6 Begründen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden ABCDPnABCDP_n gilt:
VABCDPn≤13⋅VABCDEFGH\displaystyle V_{ABCDP_n} \leq \frac 1 3 \cdot V_{ABCDEFGH}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.1

Schrägbild des Quaders

In dieser Teilaufgabe ist das Schrägbild des Quaders ABCDEFGHABCDEFGH gesucht.
Zunächst musst du wissen, was die Schrägbildachse ist und wie sie verläuft. Strecken entlang der Schrägbildachse bzw. Bildebene werden in wahrer Länge gezeichnet. Im folgenden kannst du dir die einzelnen Schritte anschauen, indem du auf den "weiter"-Button klickst.
GeoGebra

Berechnung des Winkels ∢EBA\sphericalangle EBA

Den Winkel ∢EBA\sphericalangle EBA kannst du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen.
In deiner Formelsammlung unter der Überschrift "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" findest du folgende Gleichung.
tan⁡  φ  =  yx  =  La¨nge  der  GegenkatheteLa¨nge  der  Ankathete\displaystyle \tan\;\varphi\;=\;\frac {\text{y}}{\text{x}}\;=\;\frac{\text{Länge}\;\text{der}\;\text{Gegenkathete}}{\text{Länge}\;\text{der}\;\text{Ankathete}}
Quader mit Winkel EBA
Daraus folgt:
tan⁡∢EBA=13cm7,5cm∢EBA≈60,02∘\displaystyle \begin{array}{rcl}\tan\sphericalangle EBA&=&\frac{13cm}{7,5cm}\\ \sphericalangle EBA&\approx&60,02^\circ \end{array}
Das Winkelmaß des Winkels ∢EBA\sphericalangle EBA beträgt 60,02∘60,02^\circ.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.2

Gegeben ist, dass die Punkte PnP_n auf der Strecke [BE][\text{BE}] liegen. Außerdem soll in der Zeichnung der Winkel φ  =∢BAPn= 55∘\varphi\;=\sphericalangle BAP_n=\:55^\circ sein. Der Punkt PnP_n liegt in der Fläche EBA\text{EBA} und somit in der Fläche der Vorderseite des Quaders. Nun zeichnest du die Strecke [BE][BE] und die Höhe [P1T1][P_1T_1] ein.
Pyramide im Quader

Lösung zur Teilaufgabe B 2.3

Gesucht ist das Volumen der Pyramide ABCDPnABCDP_n.
Das Volumen einer Pyramide wird allgemein berechnet durch V=13⋅G⋅h\text{V}=\frac13\cdot\text{G}\cdot\text{h}.

1) Bestimmen der Grundfläche der Pyramide ABCDPnABCDP_n

Die Grundfläche GG der Pyramide ABCDPnABCDP_n ist das Rechteck ABCDABCD. Den Flächeninhalt dieses Rechtecks berechnest du durch Länge mal Breite:
G=AABCD=AB‾⋅BC‾=7,5  cm⋅10  cm=75  cm2\displaystyle G=A_\text{ABCD}=\overline{AB}\cdot\overline{BC}=7,5\;\text{cm}\cdot10\;\text{cm} =75\;\text{cm}^2
Die Grundfläche der Pyramide ABCDPnABCDP_n beträgt also 75  cm275\;\text{cm}^2.

2) Bestimmen der Höhe der Pyramide ABCDPnABCDP_n

Die Höhe hh der Pyramide ABCDPnABCDP_n ist die Strecke [PnTn][\text{P}_\text{n}\text{T}_\text{n}] mit der Länge PnTn‾(φ)\overline{P_nT_n}(\varphi). Diese berechnest du mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck:
sin⁡(φ)=GegenkatheteHypotenuse\sin(\varphi)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}
sin⁡(φ)=PnTn‾(φ)APn‾(φ)\sin(\varphi)=\frac{\overline{P_nT_n}(\varphi)}{\overline{AP_n}(\varphi)}
PnTn‾(φ)=sin⁡(φ)⋅APn‾(φ)\overline{{P_nT}_n}(\varphi)=\sin(\varphi)\cdot{\overline{AP_n}}(\varphi)
Nun berechnest du APn‾(φ){\overline{AP_n}}(\varphi) in Abhängigkeit von φ\varphi mithilfe des Sinussatzes:
APn‾(φ)sin⁡∢PnBA=AB‾sin⁡(180°−(φ+∢PnBA))APn‾(φ)sin⁡∢PnBA=AB‾sin⁡(φ+∢PnBA)⏟SupplementbeziehungAPn‾(φ)=AB‾⋅sin⁡∢PnBAsin⁡(φ+∢PnBA)APn‾(φ)=7,5⋅sin⁡60,02°sin⁡(φ+60,02°)APn‾(φ)=6,50sin⁡(φ+60,02°)cm\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\overline{AP_n}(\varphi)}{\sin\sphericalangle P_nBA} &=& \displaystyle\frac{\overline{AB}}{\sin({180°-(\varphi+\sphericalangle}{{ P}_n}{B}{A}))}\\ \displaystyle\frac{\overline{AP_n}(\varphi)}{\sin\sphericalangle P_nBA} &=& \displaystyle\frac{\overline{AB}}{\underbrace{\sin({\varphi+\sphericalangle}{P_nBA})}_{Supplementbeziehung}}\\ \displaystyle\overline{AP_n}(\varphi) &=& \displaystyle\frac{\overline{AB}\cdot{\sin\sphericalangle P_nBA}}{\sin({\varphi+\sphericalangle}{P_nBA})}\\ \displaystyle\overline{AP_n}(\varphi) &=& \displaystyle\frac{7,5\cdot{\sin 60,02°}}{\sin({\varphi+60,02°})}\\ \displaystyle\overline{AP_n}(\varphi) &=& \displaystyle\frac{6,50}{\sin({\varphi+60,02°})}\text{cm} \end{array}
Daraufhin setzt du APn‾(φ)\overline{AP_n}(\varphi) in die Gleichung für PnTn‾(φ)\overline{{P_nT}_n}(\varphi) ein:
PnTn‾(φ)=sin⁡(φ)⋅APn‾(φ)=sin⁡(φ)⋅6,50sin⁡(φ+60,02°)PnTn‾(φ)=6,50⋅sin⁡(φ)sin⁡(φ+60,02°)cm\displaystyle \begin{array}{rcl} \overline{P_nT_n}(\varphi)&=&\sin(\varphi)\cdot{\overline{AP_n}}(\varphi)\\ &=&\displaystyle\sin(\varphi)\cdot\frac{6,50}{\sin({\varphi+60,02°})}\\ \overline{P_nT_n}(\varphi)&=&\displaystyle\frac{6,50\cdot\sin(\varphi)}{\sin({\varphi+60,02°})}\text{cm} \end{array}

3) Einsetzen in die Volumenformel

Damit erhältst du für das Volumen V(φ)V(\varphi) der Pyramide ABCDPnABCDP_n:
V(φ)=13⋅AABCD⋅PnTn‾(φ)V(φ)=[13⋅75⋅6,50⋅sin⁡(φ)sin⁡(φ+60,02°)]cm3V(φ)=[162,5⋅sin⁡(φ)sin⁡(φ+60,02°)]cm3\displaystyle \begin{array}{rcl} V(\varphi) &=& \displaystyle\frac13\cdot A_{ABCD}\cdot\overline{P_nT_n}(\varphi)\\ V(\varphi) &=& \displaystyle\left[\frac{1}{3}\cdot 75\cdot \frac {6,50\cdot\sin(\varphi)} {\sin({\varphi+60,02°})} \right]\text{cm}^\text{3}\\ V(\varphi)&=& \displaystyle\left[\frac{162,5\cdot\sin(\varphi)}{\sin({\varphi+60,02°})} \right]\text{cm}^\text{3} \end{array}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.4

Der Quader ABCDEFGHABCDEFGH besitzt das Volumen
VQuader=(7,5⋅10⋅13)=975 cm3.\displaystyle V_{Quader}=(7,5 \cdot 10 \cdot 13)=975 \text{ cm}^3.
Da die Strecke AD‾=10 cm\overline{AD}=10 \text{ cm} lang ist, muss auch AP2‾=10 cm\overline{AP_2}=10 \text{ cm} sein.
Du setzt einfach in die Gleichung von B2.3 ein:
APn‾(φ)=6,50sin⁡(φ+60,02°)10=6,50sin⁡(φ+60,02°)sin⁡(φ+60,02°)=6,5010φ1+60,02°≈40,54°∧φ2+60,02°≈139,46°φ1=−19,48°∧φ2=79,44°\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\overline{AP_n}(\varphi) &=& \displaystyle\frac{6,50}{\sin({\varphi+60,02°})}\\ 10 &=& \displaystyle\frac{6,50}{\sin({\varphi+60,02°})}\\ \sin({\varphi+60,02°}) &=& \displaystyle\frac{6,50}{10}\\ \varphi_1+60,02°\approx 40,54°&\wedge&\varphi_2 +60,02°\approx 139,46°\\ \varphi_1=-19,48°&\wedge&\varphi_2=79,44°\\ \end{array}
Da φ∈]0°;90°]\varphi \in ]0°;90°], muss der gesuchte Winkel φ=79,44°\varphi=79,44°sein.
Setze nun φ=79,44°\varphi=79,44°in die Volumenformel der Pyramide aus Aufgabe B2.3 ein:
V(79,44°)=[162,5⋅sin⁡(79,44°)sin⁡(79,44°+60,02°)]cm3V(79,44°)≈245,77 cm3\displaystyle \begin{array}{rcl} V(79,44°)&=& \displaystyle\left[\frac{162,5\cdot\sin(79,44°)}{\sin({79,44°+60,02°})} \right]\text{cm}^\text{3}\\ V(79,44°)&\approx& 245,77\text{ cm}^\text{3} \end{array}
Nun musst du nur noch den prozentualen Anteil der Volumens der "kleinen" Pyramide am Volumen des "großen" Quaders angeben:
p=VPyramideVQuader=245,77975≈0,2521=25,21%\displaystyle p=\frac{V_{Pyramide}}{V_{Quader}}=\frac{245,77}{975} \approx 0,2521 = 25,21\%

Lösung zur Teilaufgabe B 2.5

Wenn die Länge der Strecke [P3T3][P_3T_3] minimal sein soll, muss es sich bei [P3T3][P_3T_3] um das Lot von AA auf die Strecke [BE][BE] handeln.

Da der Winkel ∢EBA\sphericalangle EBA das Maß 60,0260,02° besitzt und es sich beim Dreieck ABP3ABP_3 um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, muss für ∢BAP3=φ3\sphericalangle BAP_3=\varphi_3 gelten:
∢BAP3=180°−(90°+60,02°)=29,98°\displaystyle \sphericalangle BAP_3= 180°-(90°+60,02°)=29,98°
Mithilfe von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich dann für die Länge AP3‾\overline{AP_3}:
AP3‾AB‾=sin⁡∢EBAAP3‾=AB‾⋅sin⁡∢EBAAP3‾=7,5⋅sin⁡60,02°AP3‾≈6,50 cm\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\overline{AP_3}}{\overline{AB}}&=&\sin \sphericalangle EBA \\ \\ \displaystyle \overline{AP_3}&=&\overline{AB} \cdot \sin \sphericalangle EBA \\ \overline{AP_3}&=&7,5 \cdot \sin 60,02° \\ \overline{AP_3}&\approx&6,50 \text { cm} \end{array}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.6

Zunächst überlegst du, wann die Pyramide ABCDPnABCDP_n das maximale Volumen besitzt:
Eine Veränderung von φ\varphi ändert nur PnP_n und damit nur die Höhe der Pyramide, die Grundfläche bleibt dabei immer gleich.
Daher kannst du sagen, die Pyramide ABCDPnABCDP_n hat ihr maximales Volumen bei φ=90°\varphi =90°.
In diesem Fall ist PnTn‾=AE‾\overline{P_nT_n}=\overline{AE}, und damit gilt
VABCDPn=13⋅VABCDEFGH.\displaystyle V_{ABCDP_n}=\frac13 \cdot V_{ABCDEFGH}.
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