Teil A - lernen mit Serlo!

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Punkte für Aufgabe 2.1: 2 P

Punkte für Aufgabe 2.2: 3 P

Punkte für Aufgabe 2.3: 4 P

Lösung zu Teilaufgabe A 2.1

In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.

Um den Punkt $A_{2}$ zu berechnen, setzt du den Wert $φ = 90 °$ in $A_{n} (2 \cdot \sin φ - 4 | 3 \cdot \sin φ - 1)$ ein und erinnerst dich, dass $\sin 90 ° = 1$ gilt. Damit erhältst du $A_{2} (- 2 | 2)$ .

Nun kannst du den Punkt $A_{2}$ sowie die Verbindungsgeraden $[A_{2} B]$ und $[A_{2} D]$ in das Koordinatensystem eintragen.

Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke $[A_{2} B]$ durch den Punkt $D$ und eine Parallele zu $[A_{2} D]$ durch den Punkt $B$ . Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt $C_{2}$ und somit auch das Parallelogramm $A_{2} B C_{2} D$ .

Lösung zu Teilaufgabe A 2.2

In dieser Aufgabe benutzt du Konzepte aus dem Artikel Geradengleichung.

Gegeben sind die zwei Punkte $A_{2} (- 2 | 2)$ und $A_{1} (- 4 | - 1)$ . Du berechnest zunächst die Steigung $m$ des Trägergraphen $t$ . Dies machst du mit dem Steigungsdreieck:

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{A_{2}} - y_{A_{1}}}{x_{A_{2}} - x_{A_{1}}} = \frac{2 - (- 1)}{- 2 - (- 4)} = \frac{3}{2}

Für den $y$ -Achsenabschnitt $c$ setzt du den Punkt $A_{1}$ in die Geradengleichung $t (x) = m \cdot x + c$ ein und berechnest:

$t (- 4)$	$=$	$- 1$
	↓	Setze die Definition von $t$ ein.
$- 4 \cdot m + c$	$=$	$- 1$
	↓	Setze den Wert für $m$ ein.
$- 4 \cdot \frac{3}{2} + c$	$=$	$- 1$
	↓	Vereinfache.
$- 6 + c$	$=$	$- 1$	$+ 6$
	↓	Löse nach $c$ auf.
$c$	$=$	$- 1 + 6$
$c$	$=$	$5$

Zusammenfassend hast du die Geradengleichung des Trägergraphes bestimmt:

t (x) = \frac{3}{2} \cdot x + 5.

Für die Skizze des Trägergraphens $t$ kannst du nochmal in die Lösung zu Teilaufgabe A 2.1 schauen.

Lösung zu Teilaufgabe A 2.3

Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor $0,5$ fällt weg.

Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks $A_{n} B D$ . Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren

$\vec{B D} = (\begin{array}{c} 2 - (- 2) \\ 3 - (- 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array})$

und

$\vec{B A_{n}}$	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 4 - (- 2) \\ 3 \cdot \sin (φ) - 1 - (- 3) \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array})$

Nach der Determinantenformel gilt

$A_{△ A_{n} B D}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| \vec{B D} \vec{B A_{n}} \|$
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot \| \begin{array}{cc} 4 & 2 \cdot \sin (φ) - 2 \\ 6 & 3 \cdot \sin (φ) + 2 \end{array} \|$
	$=$	$\frac{1}{2} [4 \cdot (3 \cdot \sin (φ) + 2) - 6 \cdot (2 \cdot \sin (φ) - 2)]$
	$=$	$\frac{1}{2} [12 \cdot \sin (φ) + 8 - 12 \cdot \sin (φ) + 12] = 10 (F E) .$

Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{n} B C_{n} D$ das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:

A_{A_{n} B C_{n} D} = 2 \cdot A_{△ A_{n} B D} = 20 (F E) .

Da dieses Ergebnis unabhängig von $φ$ ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramme konstant bleibt.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?