76770 Textaufgabe

Lösung zu Teilaufgabe A 2.1

In dieser Aufgabe beschäftigst du dich mit der Konstruktion von Parallelogrammen.

Um den Punkt %%A_2%% zu berechnen, setzt du den Wert %%\varphi=90°%% in %%A_n(2 \cdot \sin \varphi-4|3\cdot \sin \varphi-1)%% ein und erinnerst dich, dass %%\sin 90°=1%% gilt. Damit erhältst du %%A_2 (-2|2)%%.

Nun kannst du den Punkt %%A_2%% sowie die Verbindungsgeraden %%[A_2B]%% und %%[A_2D]%% in das Koordinatensystem eintragen.

Zeichne anschließend je eine Parallele zur Strecke %%[A_2B]%% durch den Punkt D und eine Parallele zu %%[A_2D]%% durch den Punkt B. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden liefert den Punkt %%C_2%% und somit auch das Parallelogramm %%A_2BC_2D%%.

Lösung zu Teilaufgabe A 2.2

In dieser Aufgabe benutzt du Konzepte aus dem Artikel Geradengleichung.

Du berechnest zunächst die Steigung %%m%% des Trägergraphen %%t%%. Dies machst du mit dem Steigungsdreieck:

%% \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-(-1)}{-2-(- 4)}=\frac{3}{2}. %%

Für den %%y%%-Achsenabschnitt %%c%% setzt du den Punkt %%A_1%% in die Geradengleichung %%t(x)=m\cdot x+c%% ein und berechnest:

%%t(-4)=-1%%

%%-4\cdot m+c=-1%%

%%\displaystyle -4\cdot\frac 32+c=-1%%

%%\displaystyle c=5%%

Setze die Definition von %%t%% ein.

Setze den Wert für %%m%% ein.

Löse nach %%c%% auf.

Zusammenfassend hast du die Geradengleichung des Trägergraphes bestimmt:

%% \displaystyle t(x)=\frac 32\cdot x+5. %%

Für die Skizze des Trägergraphes %%t%% kannst du nochmal in die Lösung zu Teilaufgabe A 2.1 schauen.

Lösung zu Teilaufgabe A 2.3

Erinnere dich an die Berechnung von Parallelogrammflächen mittels Determinante. Dies geht genauso wie im Artikel Dreiecksfläche im Koordinatensystem beschrieben; lediglich der dort erwähnte Vorfaktor %%0,5%% fällt weg.

Du berechnest zunächst die Fläche des Dreiecks %%A_nBD%%. Dazu verwendest du die Verbindungsvektoren

%% \overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}2-(-2)\\3-(- 3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix} %%

und

%% \displaystyle \begin{align} \overrightarrow{BA_n}&=\begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)- 4-(-2)\\3\cdot\sin(\varphi)-1-(-3)\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}2\cdot\sin(\varphi)-2\\3\cdot\sin(\varphi)+2 \end{pmatrix}. \end{align} %%

Nach der Determinantenformel gilt

%% \displaystyle \begin{align} A_{\triangle A_nBD}&=\frac12\cdot\left|\overrightarrow{BD}\,\overrightarrow{BA_n}\right|\\ &=\frac12\cdot\begin{vmatrix}4& 2\cdot\sin(\varphi)-2\\ 6&3\cdot\sin(\varphi)+2\end{vmatrix}\\ &=\frac12\left[4\cdot(3\cdot\sin(\varphi)+2)- 6\cdot(2\cdot\sin(\varphi)-2)\right]\\ &=\frac12\left[12\cdot\sin(\varphi)+8-12\cdot\sin(\varphi)+12\right]=10\,\mathrm{(FE).} \end{align} %%

Aus Symmetriegründen ist der Flächeninhalt des Parallelogramms %%A_nBC_nD%% das Doppelte des Dreiecksflächeninhalts:

%% A_{A_nBC_nD}=2\cdot A_{\triangle{A_nBD}}=20\,\mathrm{(FE).} %%

Da dieses Ergebnis unabhängig von %%\varphi%% ist, folgt, dass der Flächeninhalt aller Parallelogramm konstant bleibt.