Lösung zu Teilaufgabe A 3.1

In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.

Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion $f_1:y={\log }_2(x+2)+1$. Der Logarithmus ist nur für positive $x$-Werte definiert. Damit $x+2>0$ erfüllt ist, muss folglich $x>-2$ gelten. Der Definitionsbereich ist also durch $𝔻=]-2,\infty [$ gegeben.

Lösung zu Teilaufgabe A 3.2

Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.

Um die Umkehrfunktion zu $f_1$ zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

1. Zunächst vertauschst du $x$ und $y$ in der Funktionsgleichung.

2. Anschließend löst du die Gleichung $x={\log }_2(y+2)+1$ nach $y$ auf:

Es gilt also $y=2^{x-1}-2$.

Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von $f_1$ durch $f_1^{-1}:y=2^{x-1}-2$ gegeben ist.

Lösung zu Teilaufgabe A 3.3

In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.

Du weißt, dass der Graph der Funktion $f_2$ eine Gleichung der Form $y={\log }_2(-x+a)+3$ hat und den Graphen der Funktion $f_1$ auf der $y$-Achse schneidet.

Da die Graphen sich auf der $y$-Achse schneiden, sind für $x=0$ die $y$-Werte der Funktionsgleichungen von $f_1$ und $f_2$ gleich:

$f_1(0)=f_2(0)$.

Einsetzen der Funktionsgleichungen von $f_1$ und $f_2$ liefert:

${\log }_2(0+2)+1={\log }_2(-0+a)+3$.

Diese Gleichung löst du nun nach $a$ auf:

und erhältst $a=2^{-1}=\mathrm{0,5}$.

Folglich ist die Lösungsmenge durch $𝕃=\{\mathrm{0,5}\}$ gegeben und die Funktionsgleichung von $f_2$ lautet $f_2:y={\log }_2(-x+\mathrm{0,5})+3$.

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.