Punkte für Aufgabe 3.1: 1 P Punkte für Aufgabe 3.2: 2 P Punkte für Aufgabe 3.3: 2 P

Lösung zu Teilaufgabe A 3.1

In dieser Teilaufgabe untersuchst du den Definitionsbereich eines logarithmischen Funktionsterms.

Zunächst betrachtest du die Gleichung der Funktion %%f_1: y=\log_2(x+2)+1%%. Der Logarithmus ist nur für positive %%x%%-Werte definiert. Damit %%x+2>0%% erfüllt ist, muss folglich %%x>-2%% gelten. Der Definitionsbereich ist also durch %%\mathbb{D}=(-2,\infty)%% gegeben.

Lösung zu Teilaufgabe A 3.2

Diese Teilaufgabe beschäftigt sich mit der Umkehrfunktion eines logarithmischen Funktionsterms.

Um die Umkehrfunktion zu %%f_1%% zu bestimmen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

  1. Zunächst vertauschst du %%x%% und %%y%% in der Funktionsgleichung.
  2. Anschließend löst du die Gleichung %%x=\log_2(y+2)+1%% nach %%y%% auf:

%%x=\log_2(y+2)+1%%

%%x-1=\log_2(y+2)%%

%%|-1%%

%%|2^{(\cdot)}%%

Du rechnest %%2^{(\cdot)}%%, da %%2^x%% die Umkehrfunktion von %%\log_2(x)%% ist.

%%2^{x-1}=y+2%%

%%2^{x-1}-2=y%%

%%|-2%%

Es gilt also %%y=2^{x-1}-2%%.

Damit folgt nun, dass die Umkehrfunktion von %%f_1%% durch %%f_1^{-1}: y=2^{x-1}-2\,%% gegeben ist.

Lösung zu Teilaufgabe A 3.3

In dieser Teilaufgabe berechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen.

Du weißt, dass der Graph der Funktion %%f_2%% eine Gleichung der Form %%y=\log_2(-x+a)+3%% hat und den Graphen der Funktion %%f_1%% auf der %%y%%-Achse schneidet.

Da die Graphen sich auf der %%y%%-Achse schneiden, sind für %%x=0%% die %%y\,%%-Werte der Funktionsgleichungen von %%f_1%% und %%f_2%% gleich:

%%f_1(0)=f_2(0)%%.

Einsetzen der Funktionsgleichungen von %%f_1%% und %%f_2%% liefert %%\log_2(0+2)+1=\log_2(-0+a)+3%%.

Diese Gleichung löst du nun nach a auf:

%%\log_2(0+2)+1=\log_2(-0+a)+3%%

%%\log_2(2)+1=\log_2(a)+3%%

%%\log_2(2)+1-3=\log_2(a)%%

%%2^{\log_2(2)-2}=a%%

%%2^{-1}=a%%

%%|%% vereinfache

%%|-3%%

%%|2^{(\cdot)}%%

%%|\log_2(2)=1%%

und erhältst %%a=2^{-1}=0,5%%.

Folglich ist die Lösungsmenge durch %%\mathbb{L}={\{0,5\}}%% gegeben und die Funktionsgleichung von %%f_2%% lautet %%f_2: y=\log_2(-x+0,5)+3%%.

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.