Lösung zu B1.1

%%y = 0,25 x^2 + bx +c%%

Scheitelpunkt %%S(4|-2)%%

Scheitelpunktform %%y = a(x-x_S)^2+y_S%%

Normalform %%y = a x^2 + bx +c%%

Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um %%a%% zu bestimmen. Setze dann %%a%% und %%S%% in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.

%%y = 0,25(x-4)^2 - 2%%

%%y = 0,25(x^2-8x+16) - 2%%

%%y = 0,25x^2 - 2x + 4 - 2%%

%%y = 0,25x^2 - 2x + 2%%

Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).

Lösung zu B1.2

%%A(0|2)%% und %%C(10|7)%% sind die Schnittpunkte von %%p%% und %%g%%.

%%B_n(x|0,25x^2-2x+2)%% liegen auf der Parabel %%p%%

%%AB_nCD_n%% bilden Drachenvierecke mit %%g%% als Symmetrieachse

Berechne %%B_1%% indem du %%x=6%% in %%B_n%% einsetzt.

%%B_1(6|0,25\cdot 6^2 - 2 \cdot 6 +2)%%

%%B_1(6|-1)%%

Drachenvierecke gibt es, solange %%B%% zwischen %%A%% und %%C%% liegt.

%%x \in (0;10)%%

Lösung zu B1.3

%%A(0|2)%%, %%B_1(6|-1)%%, %%C(10|7)%%

Um zu zeigen, dass das Dreieck %%AB_1C%% rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

Berechne dafür zunächst die Seitenlängen %%\overline{AB}%%, %%\overline{BC}%% und %%\overline{CA}%%.

%%\overline{AB_1} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}%%

%%\overline{AB_1} = \sqrt{6^2+(-3)^2} = \sqrt{45}%%

%%\overline{B_1C} = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}%%

%%\overline{B_1C} = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80}%%

%%\overline{CA} = \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}%%

%%\overline{CA} = \sqrt{(-10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{125}%%

Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

%%\overline{CA}%% sollte dabei die Hypothenuse sein.

%%\overline{CA}^2 = \overline{AB_1}^2 + \overline{B_1C}^2%%

%%125 = 45 + 80%%

Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei %%B_1%%.

Lösung zu B1.4

%%B_n(x|0,25x^2-2x+2)%%

Die Punkte %%B_n%% liegen auf der Parabel %%p%%. Die Punkte %%B_2%% und %%B_3%% liegen auf der %%x%%-Achse und sind deshalb die Nullstellen von %%p%%. Um die Nullstellen zu berechnen, setze %%y=0%% in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.

%%0 = 0,25 x^2 - 2x +2%%

%%x_{2/3} = 4 \pm 2\sqrt{2}%%

%%x_2 = 1,17%%

%%x_3 = 6,83%%

%%\Rightarrow B_2(1,17|0), B_3(6,83|0)%%

Lösung zu B1.5

Gegeben sind die folgenden Punkte des Drachenvierecks:

%%A(0|2)%%

%%B(x|0,25x^2-2x+2)%%

%%C(10|7)%%

Das Drachenviereck kannst du in die zwei Dreiecke %%ABC%% und %%ACD%% aufteilen. Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke sind aufgrund der Symmetrie vom Drachenviereck gleich.

Die Fläche vom Dreieck %%ABC%% kannst du über die Determinante berechnen:

%%A_{ABC} =\dfrac{1}{2}\left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

Um auf die Fläche des Drachenvierecks zu kommen nehmen wir nun diese Fläche doppelt und kommen auf:

%%A_{ABCD} = \left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

Berechne dazu die beiden Vektoren.

%%\vec{BA} = \left( \begin{array}{c}0\\2\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}x\\0,25x^2-2x+2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}-x\\-0,25x+2x\end{array} \right)%%

%%\vec{BC} = \left( \begin{array}{c}10\\7\end{array} \right)- \left(\begin{array}{c}x\\0,25x^2-2x+2\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}10-x\\-0,25x+2x-5 \end{array} \right)%%

Anschließend kannst du die Determinante bestimmen.

%%A_{ABCD} =\left| \vec{BA}\;\; \vec{BC}\right|%%

%%A_{ABCD}= \left| \begin{array}{c}-x\\-0,25x+2x\end{array}\; \; \begin{array}{c}10-x\\-0,25x+2x-5 \end{array}\right|%%

%%A_{ABCD} =-x\cdot (-0,25x^2+2x+5)-(10-x)(-0,25x^2+2x)%%

%%A_{ABCD}=0,25x^3-2x^2-5x -(2,5x^3+20x+0,25x^3-2x^2)%%

%%A_{ABCD}=0,25x^3-2x^2-5x-2,5x^3-20x-0,25x^2+2x^2%%

%%A_{ABCD}=-5x+2,5x^2-20x%%

%%\underline{\underline{A=2,5x^2-25x}}%%

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks in Abhängigkeit von %%x%% ist %%A=2,5x^2-25x%%.

Alternative Lösung zu B1.5

%%A(0|2), B(x|0,25x^2-2x+2), C(10|7)%%

Das Drachenviereck %%ABCD%% besteht aus zwei Dreiecken %%ABC%% und %%CDA%% mit gleichem Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt von %%ABC%% zu berechnen, teile es in zwei Dreiecke %%ABE%% und %%BCE%% auf.

%%A_{Dreieck} = \frac{1}{2}G \cdot h%%

Beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite %%G%%. Berechne %%G%% als Abstand zwischen %%g%% und %%B%% in %%y%%-Richtung. Die Höhen %%h_1%% und %%h_2%% sind der Abstand zwischen %%B%% und %%A%% bzw. %%C%% in %%x%%-Richtung.

%%\begin{array}{lcl}G & = & g(x) - y_B(x) \\ & = & 0,5x + 2 - 0,25x^2 + 2x -2 \\ & = & -0,25x^2 + 2,5x \end{array}%%

%%h_1 = x_B - x_A = x%%

%%h_2 = x_C - x_B = 10 - x%%

Addiere zunächst allgemein %%A_1%% und %%A_2%% und den Flächeninhalt des Dreiecks %%ABC%% zu erhalten und multipliziere mit %%2%% um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu erhalten.

%%\begin{array}{lcl} A_{ABCD} & = & 2 \cdot (A_1 + A_2) \\ & = & 2 \cdot (\frac{1}{2}G\cdot h_1 + \frac{1}{2}G\cdot h_2) \\ & = & G \cdot (h_1 + h_2) \end{array}%%

Setze %%G%%, %%h_1%% und %%h_2%% in %%A_{ABCD}%% ein.

%%A_{ABCD}(x) = (-0,25x^2 + 2,5x) \cdot (x + 10 - x)%%

%%A_{ABCD}(x) = (-2,5x^2 + 25x)[FE]%%

Lösung zu B1.6

%%A(0|2)%%, %%C(10|5)%%

%%g(x) = 0,5x + 2%%

Die Gerade %%MB_4%% ist senkrecht zu %%g%% und verläuft durch den Punkt %%M%%. Berechne zunächst die Koordinaten von %%M%%.

%%M%% liegt in der Mitte zwischen %%A%% und %%C%%

%%\Rightarrow x_M = \frac{x_C-x_A}{2}+x_A = \frac{10}{2} + 0 = 5%%

%%\Rightarrow y_M = \frac{y_C-y_A}{2}+y_A = \frac{5}{2} + 2 = 4,5%%

%%\Rightarrow M(5|4,5)%%

Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von %%MB_4%%.

Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen %%m%% und %%m'%% gilt: %%m \cdot m' = -1%%.

Damit ist die Steigung %%m_{MB_4} = \frac{-1}{m_g} = \frac{-1}{0,5} = -2%%

Setze jetzt die Steigung %%m_{MB_4}%% und %%M%% in die allgemeine Geradengleichung %%y=mx+b%% ein und bestimme den fehlenden Parameter %%b%%.

%%\begin{array}{rcll} y & = & mx+b & \\ 4,5 & = & -2\cdot 5 + b & \\ 4,5 & = & -10 + b & |+10 \\ 14,5 & = & b &\end{array}%%

%%\Rightarrow MB_4: y=-2x+14,5%%