$y=\mathrm{0,25}{x}^2+bx+c$

Scheitelpunkt $S(4|-2)$

Scheitelpunktform $y=a(x-x_S{)}^2+y_S$

Normalform $y=a{x}^2+bx+c$

Vergleiche die gegebene Parabelgleichung mit der allgemeinen Normalform um $a$ zu bestimmen. Setze dann $a$ und $S$ in die Scheitelpunktform ein und vereinfache.

$y=\mathrm{0,25}(x-4{)}^2-2$

$y=\mathrm{0,25}(x^2-8x+16)-2$

$y=\mathrm{0,25}{x}^2-2x+4-2$

$y=\mathrm{0,25}{x}^2-2x+2$

Zeichne die Parabel und Gerade (z.B. mit Hilfe einer Wertetabelle aus dem Taschenrechner).

$A(0|2)$ und $C(10|7)$ sind die Schnittpunkte von $p$ und $g$.

$B_n(x|\mathrm{0,25}{x}^2-2x+2)$ liegen auf der Parabel $p$

$A{B}_{n}C{D}_n$ bilden Drachenvierecke mit $g$ als Symmetrieachse

Berechne $B_1$ indem du $x=6$ in $B_n$ einsetzt:

$B_1(6|\mathrm{0,25}\cdot 6^2-2\cdot 6+2)$

$B_1(6|-1)$

Drachenvierecke gibt es, solange $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt.

$x\in (0;10)$

$A(0|2)$, $B_1(6|-1)$, $C(10|7)$

Um zu zeigen, dass das Dreieck $A{B}_{1}C$ rechtwinklig ist, zeige, dass der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

Berechne dafür zunächst die Seitenlängen $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CA}$.

$\overline{A{B}_1}=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$

$\overline{A{B}_1}=\sqrt{6^2+(-3{)}^2}=\sqrt{45}$

$\overline{B_{1}C}=\sqrt{(x_C-x_B{)}^2+(y_C-y_B{)}^2}$

$\overline{B_{1}C}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}$

$\overline{CA}=\sqrt{(x_A-x_C{)}^2+(y_A-y_C{)}^2}$

$\overline{CA}=\sqrt{(-10{)}^2+(-5{)}^2}=\sqrt{125}$

Überprüfe mit diesen Streckenlängen, ob der Satz des Pythagoras erfüllt ist.

$\overline{CA}$ sollte dabei die Hypothenuse sein.

${\overline{CA}}^2={\overline{A{B}_1}}^2+{\overline{B_{1}C}}^2$

$125=45+80$

Der Satz des Pythagoras ist erfüllt, damit ist das Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $B_1$.

$B_n(x|\mathrm{0,25}{x}^2-2x+2)$

Die Punkte $B_n$ liegen auf der Parabel $p$. Die Punkte $B_2$ und $B_3$ liegen auf der $x$-Achse und sind deshalb die Nullstellen von $p$. Um die Nullstellen zu berechnen, setze $y=0$ in der Parabelgleichung und löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel.

$0=\mathrm{0,25}{x}^2-2x+2$

$x_{2/3}=4\pm 2\sqrt{2}$

$x_2=\mathrm{1,17}$

$x_3=\mathrm{6,83}$

$\Rightarrow B_2(\mathrm{1,17}|0),B_3(\mathrm{6,83}|0)$

$A(0|2),B(x|\mathrm{0,25}{x}^2-2x+2),C(10|7)$

Das Drachenviereck $ABCD$ besteht aus zwei Dreiecken $ABC$ und $CDA$ mit gleichem Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt von $ABC$ zu berechnen, teile es in zwei Dreiecke $ABE$ und $BCE$ auf.

$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}G\cdot h$

Beide Dreiecke haben die gleiche Grundseite $G$. Berechne $G$ als Abstand zwischen $g$ und $B$ in $y$-Richtung. Die Höhen $h_1$ und $h_2$ sind der Abstand zwischen $B$ und $A$ bzw. $C$ in $x$-Richtung.

$\begin{array}{lcl}G& =& g(x)-y_B(x)\\ & =& \mathrm{0,5}x+2-\mathrm{0,25}{x}^2+2x-2\\ & =& -\mathrm{0,25}{x}^2+\mathrm{2,5}x\end{array}$

$h_1=x_B-x_A=x$

$h_2=x_C-x_B=10-x$

Addiere zunächst allgemein $A_1$ und $A_2$ und den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ zu erhalten und multipliziere mit $2$ um den Flächeninhalt des Drachenvierecks zu erhalten.

$\begin{array}{lcl}{A}_{ABCD}& =& 2\cdot (A_1+A_2)\\ & =& 2\cdot (\frac{1}{2}G\cdot h_1+\frac{1}{2}G\cdot h_2)\\ & =& G\cdot (h_1+h_2)\end{array}$

Setze $G$, $h_1$ und $h_2$ in $A_{ABCD}$ ein.

$A_{ABCD}(x)=(-\mathrm{0,25}{x}^2+\mathrm{2,5}x)\cdot (x+10-x)$

$A_{ABCD}(x)=(-\mathrm{2,5}{x}^2+25x)[\text{FE}]$

$A(0|2)$, $C(10|7)$

$g(x)=\mathrm{0,5}x+2$

Die Gerade $M{B}_4$ ist senkrecht zu $g$ und verläuft durch den Punkt $M$. Berechne zunächst die Koordinaten von $M$.

$M$ liegt in der Mitte zwischen $A$ und $C$

$\Rightarrow x_M=\frac{x_C-x_A}{2}+x_A=\frac{10}{2}+0=5$

$\Rightarrow y_M=\frac{y_C-y_A}{2}+y_A=\frac{5}{2}+2=\mathrm{4,5}$

$\Rightarrow M(5|\mathrm{4,5})$

Berechne nun aus dem Wissen, dass beide Geraden rechtwinklig zueinander sind, die Steigung von $M{B}_4$.

Für rechtwinklige Geraden mit Steigungen $m$ und $m^{\prime }$ gilt: $m\cdot m^{\prime }=-1$.

Damit ist die Steigung

Setze jetzt die Steigung $m_{M{B}_4}$ und $M$ in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+b$ ein und bestimme den fehlenden Parameter $b$.

$\begin{array}{rcll}y& =& mx+b& \\ \mathrm{4,5}& =& -2\cdot 5+b& \\ \mathrm{4,5}& =& -10+b& |+10\\ \mathrm{14,5}& =& b& \end{array}$

$\Rightarrow M{B}_4:y=-2x+\mathrm{14,5}$