Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

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Punkte zu Aufgabe 2.1: 3 P

Punkte zu Aufgabe 2.2: 3 P

Punkte zu Aufgabe 2.3: 3 P

Lösung zur Teilaufgabe A 2.1

Die Strecke, die die Spitze des Rotorblattes zurück legt, entspricht dem Umfang des Kreises. Berechne also zuerst den Umfang!

d = 164 m

Berechne den Radius oder wähle die Umfangsformel, die den Durchmesser verwendet.

$r = \frac{d}{2} = \frac{164 m}{2} = 82 m$

$U = 2 r π = d π$

$U$	$=$	$2 r π$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$2 \cdot 82 m \cdot π$
	$=$	$515,22 m$

Diese Strecke legt die Spitze des Rotorblattes bei einer Umdrehung zurück.

Aus der Angabe ist bekannt, dass das Rotorblatt in zehn Minuten 121 Umdrehungen schafft. Rechne mit dem Dreisatz aus, wie viel es in einer Stunde, also sechzig Minuten, sind.

$10 \min$	$≙$	$121 Umdrehungen$	$\cdot 6$
$60 \min$	$=$	$726 Umdrehungen$

In einer Umdrehung legt man den Umfang des Kreises zurück. Löse erneut mit dem Dreisatz!

$515,22 m$	$≙$	$1 Umdrehungen$	$\cdot 726$
$374049,72 m$	$≙$	$726 Umdrehungen$

Das Ergebnis soll in Kilometer angegeben werden. Rechne um.

$374049,72 m = 374 km$

Die Rotorspitze legt in einer Stunde 374 Kilometer zurück.

Lösung zur Teilaufgabe A 2.2

Beachte: Es muss nicht der Kreis in die Kiste passen, den die Rotorblätter erzeugen, wenn sie sich drehen, sondern nur die Rotorblätter!

Berechne zunächst die untere Seite der Kiste.

Die drei Rotorblätter bilden eine drehsymmetrische Figur.

Das bedeutet, dass die Winkel zwischen den Rotorblättern alle drei gleich groß sind.

$360^{\circ} : 3 = 120^{\circ}$

Die Rotorblätter sind so lang wie der Radius, also $82 m$ .

Verwende zum Beispiel den Kosinussatz.

$b^{2}$	$=$	$a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot c o s (β)$
	↓	Die Seiten a und c sind die, die den bekannten Winkel einschließen. Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$(82 m)^{2} + (82 m)^{2} - 2 \cdot 82 m \cdot 82 m \cdot c o s (120^{\circ})$
	↓	Berechne.
	$=$	$20172 m^{2}$	$\sqrt{}$
$b$	$\approx$	$142 m$

Berechne nun die Länge der Kiste.

Die Länge lässt sich in zwei Teile aufteilen:

die Länge des Rotorblattes, das 82 m lang ist.
das untere Stück, das der Länge der einen Kathete im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck entspricht.

Die andere Kathete ist die Hälfte der Basis des zuvor betrachteten gleichschenkligen Dreiecks:

$142 m : 2 = 71 m$

Kathete 1: $a = 71 m$

Hypothenuse: $c = 82 m$

Wende den Satz des Pythagoras an.

$a^{2} + b^{2}$	$=$	$c^{2}$
	↓	Forme zunächst um.
$b^{2}$	$=$	$c^{2} - a^{2}$	$\sqrt{}$
$b$	$=$	$\sqrt{c^{2} - a^{2}}$
	↓	Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$\sqrt{(82 m)^{2} - (71 m)^{2}}$
	$\approx$	$41 m$

Setze nun die beiden Teile zusammen, um die Länge der Kiste zu bekommen.

$l = 41 m + 82 m = 123 m$

Lösung zur Teilaufgabe A 2.3

Gegeben hast du zwei durch $Z$ verlaufende Geraden $(B D$ und $C A)$ , die von zwei parallelen Geraden $(A B | | C D)$ geschnitten werden. Deshalb nutzt du den Vierstreckensatz.

Zunächst berechnest du die Höhe des Mastes und addierst danach die Länge der Strecke $A C = 82 m$ . Somit erhältst du die Gesamthöhe des Windrades.

Zuerst stellst du folgende Gleichung zum Strahlensatz auf. Diese findest du auch in der Formelsammlung.

$Z A : A C$	$=$	$Z B : B D$
	↓	Setze ein
$\frac{Mast}{82 m}$	$=$	$\frac{42 m}{25 m}$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $82 m$ .
$Mast$	$=$	$\frac{42 m}{25 m} \cdot 82 m$
	↓	Berechne und runde auf eine ganze Zahl.
	$\approx$	$138 m$

Im letzten Schritt berechnest du die Gesamthöhe der Windkraftanlage. Addiere dafür die Höhe des Mastes mit der Länge des Rotorblattes.

$h_{gesamt} = 138 m + 82 m = 220 m$

Die gesamte Höhe der Windkraftanlage beträgt $220 m$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?