Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=\frac3x$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+$ .

Ergänzen Sie die Wertetabelle auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem.

Lösung zur Teilaufgabe a
Du erhältst die Wertetabelle, wenn du die Werte in die Funktion $y=\frac{3}{x}$ einsetzt.
x
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
$\frac3x$
6
3
1,5
1
0,75
0,6
0,5
0,43
0,38
Zeichne diese Werte in ein Koordinatensystem
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Punkte $A_n(x|\frac3x)$ auf dem Graphen zu $f$ besitzen dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_{n}$ auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - 1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ .
Für $x\in\mathbb{R}^+$ sind die Punkte $A_{n}$ und $B_{n}$ Endpunkte von Strecken $[A_{n} B_{n}]$ .
Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Strecke $[A_{1} B_{1}]$ für $x = 3$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Da die Punkte $A_{n}$ auf der Funktion $f: y= \frac{3}{x}$ liegen und die Punkte $B_{n}$ auf der Gerade $g : y = - 1$ , gehst du beim x-Wert 3 auf den Funktionsgraphen von f, um $A_{1}$ zu erhalten und auf die Funktion g, für $B_{1}$ .
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x	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8
$\frac3x$	6	3	1,5	1	0,75	0,6	0,5	0,43	0,38

Unter den Strecken $[A_{n} B_{n}]$ gibt es die Strecke $[A_{2} B_{2}]$ mit $\overline{A_2B_2}=6\;\text{LE}$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Die Skizze zeigt ein vereinfachtes Modell einer Windkraftanlage. Die drei Rotorblätter sind so angeordnet, dass sie eine drehsymmetrische Figur ergeben. Ein Mast dient zur Aufhängung der Rotorblätter.

Der Rotordurchmesser beträgt $164$ Meter (siehe Skizze).

Für das Rotorblatt werden in $10$ Minuten $121$ Umdrehungen gezählt.

Berechnen Sie, welchen Weg $s$ die Spitze eines Rotorblattes nach einer Stunde unter denselben Bedingungen zurückgelegt hat.

Runden Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer.

Die Skizze zeigt, wie die Rotorblätter in einem rechteckigen Feld in einer Montagehalle lagen, als man sie probeweise aneinander montierte.

Berechnen Sie die Seitenlängen $l$ und $b$ dieses rechteckigen Feldes.

Runden Sie auf ganze Meter.

Lösung zur Teilaufgabe b

Beachte: Es muss nicht der Kreis in die Kiste passen, den die Rotorblätter erzeugen, wenn sie sich drehen, sondern nur die Rotorblätter!

Berechne zunächst die untere Seite der Kiste.

Die drei Rotorblätter bilden eine drehsymmetrische Figur.

Das bedeutet, dass die Winkel zwischen den Rotorblättern alle drei gleich groß sind.

$360^\circ : 3 =120^\circ$

Die Rotorblätter sind so lang wie der Radius, also $82\ \mathrm{m}$ .

Verwende zum Beispiel den Kosinussatz.

$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$
	↓	Die Seiten $a$ und $c$ sind die, die den bekannten Winkel einschließen. Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle (82\;\text{m})^2+(82\;\text{m})^2-2\cdot 82\;\text{m}\cdot82\;\text{m}\cdot\cos(120^{\circ})$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle 20172\;\text{m}^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle b$	$\approx ≈$	$\displaystyle 142\ \mathrm{m}$

Berechne nun die Länge der Kiste.

Die Länge lässt sich in zwei Teile aufteilen:

die Länge des Rotorblattes, das 82 m lang ist.
das untere Stück, das der Länge der einen Kathete im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck entspricht.

Die andere Kathete ist die Hälfte der Basis des zuvor betrachteten gleichschenkligen Dreiecks:

$142\ \mathrm m : 2= 71\ \mathrm m$

Kathete 1: $a= 71\ \mathrm m$

Hypotenuse: $c= 82\ \mathrm m$

Wende den Satz des Pythagoras an.

$\displaystyle a^2+b^2$	$=$	$\displaystyle c^2$
	↓	Forme zunächst um.
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle c^2-a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{c^2-a^2}$
	↓	Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{(82\;\text{m})^2-(71\;\text{m})^2}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 41\;\text{m}$

Setze nun die beiden Teile zusammen, um die Länge der Kiste zu bekommen.

$l=41\ \mathrm m + 82\ \mathrm m= 123\ \mathrm m$

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Die Sonne steht so, dass der Schatten des Rotorblattes, dessen Spitze senkrecht nach oben zeigt, $25\;\mathrm{cm}$ lang ist. Der Schatten des Mastes endet in einer Entfernung von $42\;\mathrm{cm}$ vom Mittelpunkt des Mastes (siehe Skizze).

Berechnen Sie die Gesamthöhe $h$ der Windkraftanlage. Runden Sie auf ganze Meter.

Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $M_{1} S$ .

Es gilt:

$r_1=\overline{AM_1}=\overline{M_1B};~r_1=2\;\mathrm{cm};\\~r_2=\overline{EM_2}=\overline{M_2D};~r_2=4\;\mathrm{cm};~\\\overline{EF}=\overline{CD}=3{,}2\;\mathrm{cm}$

Berechnen Sie die Länge der Strecken $[F M_{2}]$ und $[S M_{1}]$ .

$[$ Ergebnisse: $\overline{FM_2}=0{,}8\;\mathrm{cm};~\overline{SM_1}=10\;\mathrm{cm}]$

Lösung zur Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe geht es darum, die Länge der Strecke $[F M_{2}]$ und $[S M_{1}]$ zu bestimmen.

Länge der Strecke $[F M_{2}]$

Die Länge der Strecke $[F M_{2}]$ bestimmen wir durch Subtraktion zweier Längen.

Gegeben ist die Länge der Strecke $[EM_2] = 4\;\text{cm}$ und die Länge der Strecke $[EF]=3{,}2\;\text{cm}$ .

Anhand der Skizze erkennst du, dass der Punkt $F$ auf der Strecke $[E M_{2}]$ liegt. Deshalb subtrahierst du $\overline{EF}$ von $\overline{EM_2}$ .

$\overline{FM_2}=\;\overline{EM_2}\;-\;\overline{EF}\;=\;4\;\text{cm}\;-\;3{,}2\;\text{cm}\;=\;0{,}8\;\text{cm}$

Die Strecke $[F M_{2}]$ ist $0{,}8\;\text{cm}$ lang.

Länge der Strecke $[S M_{1}]$

Für die Berechnung der Länge der Strecke $[S M_{1}]$ nutzt du den Vierstreckensatz. In deiner Formelsammlung findest du folgende Formel und Abbildung:

$\overline{CD}\;:\;\overline{AB}\;=\overline{ZC}\;:\;\overline{ZA}$

mit $AB\;||\;CD$

In der gegebenen Figur entspricht die Strecke $\overline{CD}\;=\;\overline{M_1B}$ und $\overline{AB}\;=\;\overline{M_2C}$ . Die Strecke $\overline{ZC}\;=\;\overline{M_1S}$ und $\overline{ZA}\;=\;\overline{M_2S}$ .

Nun setzt du in die Formel ein.

$\displaystyle \overline{CD}:\ \overline{AB}$	$=$	$\displaystyle \overline{ZC}:\overline{ZA}$
	↓	Schreibe die Division als Brüche.
$\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\overline{AB}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{ZC}}{\overline{ZA}}$
	↓	Setze in die Gleichung ein.
$\displaystyle \frac{4\;\mathrm{cm}}{0{,}8\;\mathrm{cm}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{SM_1}}{2\;\mathrm{cm}}$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten mit $2\;\text{cm}$ .
$\displaystyle \overline{SM_1}$	$=$	$\displaystyle \frac{4\;\mathrm{cm}}{0{,}8\;\mathrm{cm}}\cdot2\;\mathrm{cm}$
	↓	Berechne
$\displaystyle \overline{SM_1}$	$=$	$\displaystyle 10\;\mathrm{cm}$

Die Strecke $\lbrack SM_1\rbrack$ ist $10\;\text{cm}$ lang.

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Berechnen Sie den Oberflächeninhalt $O$ des Körpers, der durch Rotation an der Achse $M_{1} S$ entsteht. Runden Sie dabei auf eine Stelle nach dem Komma.