Nachtermin Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $y = \frac{3}{x}$ mit $𝔾 = ℝ^{+} \times ℝ^{+}$ .

Ergänzen Sie die Wertetabelle auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem.

Lösung zur Teilaufgabe a
Du erhältst die Wertetabelle, wenn du die Werte in die Funktion $y = \frac{3}{x}$ einsetzt.
x
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
$\frac{3}{x}$
6
3
1,5
1
0,75
0,6
0,5
0,43
0,38
Zeichne diese Werte in ein Koordinatensystem
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Punkte $A_{n} (x | \frac{3}{x})$ auf dem Graphen zu $f$ besitzen dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_{n}$ auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = - 1$ mit $𝔾 = ℝ \times ℝ$ .
Für $x \in ℝ^{+}$ sind die Punkte $A_{n}$ und $B_{n}$ Endpunkte von Strecken $[A_{n} B_{n}]$ .
Zeichnen Sie die Gerade $g$ sowie die Strecke $[A_{1} B_{1}]$ für $x = 3$ in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Da die Punkte $A_{n}$ auf der Funktion $f : y = \frac{3}{x}$ liegen und die Punkte $B_{n}$ auf der Gerade $g : y = - 1$ , gehst du beim x-Wert 3 auf den Funktionsgraphen von f, um $A_{1}$ zu erhalten und auf die Funktion g, für $B_{1}$ .
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x	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8
$\frac{3}{x}$	6	3	1,5	1	0,75	0,6	0,5	0,43	0,38

Unter den Strecken $[A_{n} B_{n}]$ gibt es die Strecke $[A_{2} B_{2}]$ mit $A_{2} B_{2} = 6 LE$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $x$ .

Die Skizze zeigt ein vereinfachtes Modell einer Windkraftanlage. Die drei Rotorblätter sind so angeordnet, dass sie eine drehsymmetrische Figur ergeben. Ein Mast dient zur Aufhängung der Rotorblätter.

Der Rotordurchmesser beträgt $164$ Meter (siehe Skizze).

Für das Rotorblatt werden in $10$ Minuten $121$ Umdrehungen gezählt.
Berechnen Sie, welchen Weg $s$ die Spitze eines Rotorblattes nach einer Stunde unter denselben Bedingungen zurückgelegt hat.
Runden Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer.
km

Lösung zur Teilaufgabe a
Die Strecke, die die Spitze des Rotorblattes zurücklegt, entspricht dem Umfang des Kreises. Berechne also zuerst den Umfang!
$d = 164 m$
Berechne den Radius oder wähle die Umfangsformel, die den Durchmesser verwendet.
$r = \frac{d}{2} = \frac{164 m}{2} = 82 m$
$U = 2 r π = d π$
$U$ $=$ $2 π r$
↓
Setze die Werte ein.
$=$ $2 \cdot π \cdot 82 m$
$=$ $515,22 m$
Diese Strecke legt die Spitze des Rotorblattes bei einer Umdrehung zurück.
Aus der Angabe ist bekannt, dass das Rotorblatt in zehn Minuten $121$ Umdrehungen schafft. Rechne mit dem Dreisatz aus, wie viel es in einer Stunde, also sechzig Minuten, sind.
$10 \min$ $≙$ $121 Umdrehungen$ $\cdot 6$
$60 \min$ $≙$ $726 Umdrehungen$
In einer Umdrehung legt man den Umfang des Kreises zurück. Löse erneut mit dem Dreisatz!
$515,22 m$ $≙$ $1 Umdrehungen$ $\cdot 726$
$374049,72 m$ $≙$ $726 Umdrehungen$
Das Ergebnis soll in Kilometer angegeben werden. Rechne um.
$374049,72 m = 374 km$
Die Rotorspitze legt in einer Stunde $374$ Kilometer zurück.
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Die Skizze zeigt, wie die Rotorblätter in einem rechteckigen Feld in einer Montagehalle lagen, als man sie probeweise aneinander montierte.

Berechnen Sie die Seitenlängen $l$ und $b$ dieses rechteckigen Feldes.

Runden Sie auf ganze Meter.

Die Sonne steht so, dass der Schatten des Rotorblattes, dessen Spitze senkrecht nach oben zeigt, $25 cm$ lang ist. Der Schatten des Mastes endet in einer Entfernung von $42 cm$ vom Mittelpunkt des Mastes (siehe Skizze).
Berechnen Sie die Gesamthöhe $h$ der Windkraftanlage. Runden Sie auf ganze Meter.
m

Lösung zur Teilaufgabe c
Gegeben hast du zwei durch $Z$ verlaufende Geraden $(B D$ und $C A)$ , die von zwei parallelen Geraden $(A B | | C D)$ geschnitten werden. Deshalb nutzt du den Vierstreckensatz.
Zunächst berechnest du die Höhe des Mastes und addierst danach die Länge der Strecke $A C = 82 m$ . Somit erhältst du die Gesamthöhe des Windrades.
Zuerst stellst du folgende Gleichung zum Strahlensatz auf. Diese findest du auch in der Formelsammlung.
$Z A : A C$ $=$ $Z B : B D$
↓
Setze ein
$\frac{Mast}{82 m}$ $=$ $\frac{42 m}{25 m}$
↓
Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $82 m$ .
$Mast$ $=$ $\frac{42 m}{25 m} \cdot 82 m$
↓
Berechne und runde auf eine ganze Zahl.
$\approx$ $138 m$
Im letzten Schritt berechnest du die Gesamthöhe der Windkraftanlage. Addiere dafür die Höhe des Mastes mit der Länge des Rotorblattes.
$h_{gesamt} = 138 m + 82 m = 220 m$
Die gesamte Höhe der Windkraftanlage beträgt $220 m$ .
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Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers mit der Rotationsachse $M_{1} S$ .

Es gilt:

$\begin{array}{l} r_{1} = A M_{1} = M_{1} B; r_{1} = 2 cm; \\ r_{2} = E M_{2} = M_{2} D; r_{2} = 4 cm; \\ E F = C D = 3,2 cm \end{array}$

Berechnen Sie die Länge der Strecken $[F M_{2}]$ und $[S M_{1}]$ .
$[$ Ergebnisse: $F M_{2} = 0,8 cm; S M_{1} = 10 cm]$

Lösung zur Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe geht es darum, die Länge der Strecke $[F M_{2}]$ und $[S M_{1}]$ zu bestimmen.
Länge der Strecke $[F M_{2}]$
Die Länge der Strecke $[F M_{2}]$ bestimmen wir durch Subtraktion zweier Längen.
Gegeben ist die Länge der Strecke $[E M_{2}] = 4 cm$ und die Länge der Strecke $[E F] = 3,2 cm$ .
Anhand der Skizze erkennst du, dass der Punkt $F$ auf der Strecke $[E M_{2}]$ liegt. Deshalb subtrahierst du $E F$ von $E M_{2}$ .
$F M_{2} = E M_{2} - E F = 4 cm - 3,2 cm = 0,8 cm$
Die Strecke $[F M_{2}]$ ist $0,8 cm$ lang.
Länge der Strecke $[S M_{1}]$
Für die Berechnung der Länge der Strecke $[S M_{1}]$ nutzt du den Vierstreckensatz. In deiner Formelsammlung findest du folgende Formel und Abbildung:
$C D : A B = Z C : Z A$
mit $A B | | C D$
In der gegebenen Figur entspricht die Strecke $C D = M_{1} B$ und $A B = M_{2} C$ . Die Strecke $Z C = M_{1} S$ und $Z A = M_{2} S$ .
Nun setzt du in die Formel ein.
$C D : A B$ $=$ $Z C : Z A$
↓
Schreibe die Division als Brüche.
$\frac{C D}{A B}$ $=$ $\frac{Z C}{Z A}$
↓
Setze in die Gleichung ein.
$\frac{4 cm}{0,8 cm}$ $=$ $\frac{S M_{1}}{2 cm}$
↓
Multipliziere auf beiden Seiten mit $2 cm$ .
$S M_{1}$ $=$ $\frac{4 cm}{0,8 cm} \cdot 2 cm$
↓
Berechne
$S M_{1}$ $=$ $10 cm$
Die Strecke $[S M_{1}]$ ist $10 cm$ lang.
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Berechnen Sie den Oberflächeninhalt $O$ des Körpers, der durch Rotation an der Achse $M_{1} S$ entsteht. Runden Sie dabei auf eine Stelle nach dem Komma.

Lösung zur Teilaufgabe b

Allgemeines

In der Teilaufgabe b) betrachtest du den gegebenen Rotationskörper und errechnest dessen Oberflächeninhalt O.

Dieser Rotationskörper entsteht durch Rotation um die Achse $M_{1} S$ .

Im ersten Schritt teilst du den Körper in Teilfiguren auf:

Der Körper besteht aus einer kleinen Halbkugel mit dem Radius $r_{1}$ (im Bild türkis) und einer größeren Halbkugel mit Radius $r_{2}$ (im Bild grün). Außerdem ist ein Kegel mit Radius $r_{1}$ und Höhe $M_{1} S$ (im Bild rot) in der Figur enthalten. Wobei die Spitze des Kegels durch die größere Kugel abgeschnitten wird. Dabei entsteht ein Kegelstumpf.

Für die Berechnung des Oberflächeninhalts ist außerdem noch ein Kreisring von Bedeutung, den man sieht, wenn man von unten auf die größere, grüne Halbkugel schaut.

Oberflächeninhalt der kleineren Halbkugel

Im ersten Schritt berechnest du den Oberflächeninhalt der türkisen, kleineren Halbkugel. Den Oberflächeninhalt einer Kugel berechnet man durch folgende Formel.

$O_{Kugel} = 4 \cdot π \cdot r^{2}$

Die Kugel hat den Radius $r_{1} = 2 cm$ . Da du nur eine Halbkugel vorliegen hast, halbierst du den Oberflächeninhalt noch:

$O_{kl.Halbkugel}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot π \cdot r_{1}^{2}$
	↓	Setze den Radius $r_{1}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot π \cdot {(2 cm)}^{2}$
	↓	Vereinfache so weit wie möglich.
	$=$	$8 \cdot π {cm}^{2}$
	↓	Berechne und Runde.
	$\approx$	$25,1 {cm}^{2}$

Der Oberflächeninhalt der kleinen, türkisen Halbkugel beträgt gerundet $25,1 {cm}^{2}$ .

Oberflächeninhalt der größeren Halbkugel

Nun berechnest du den Oberflächeninhalt der größeren, grünen Halbkugel. Für diese Berechnung bestimmst du die Hälfte des Oberflächeninhalts einer ganzen Kugel mit Radius $r_{2} = 4 cm$ .

$O_{gr.Halbkugel}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot O_{gr.Kugel}$
	↓	Setze die Formel zur Bestimmung des Oberflächeninhaltes der Kugel ein und halbiere ihn.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot π \cdot r_{2}^{2}$
	↓	Setze den Radius $r_{2}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot π \cdot {(4 cm)}^{2}$
	↓	Vereinfache soweit wie möglich.
	$=$	$32 π {cm}^{2}$
	↓	Berechne und Runde das Ergebnis
	$\approx$	$100,5 {cm}^{2}$

Flächeninhalt des Kreisrings

Der Kreisring ist die grüne Fläche, die man sieht, wenn man einen Querschnitt entlang der Strecke $[E D]$ zieht und von unten auf die grüne Halbkugel schaut. Zum einen wird er begrenzt von dem kleinen, roten Kreis mit Radius $F M_{2}$ , zum anderen wird der Kreisring von dem größeren Kreis mit Radius $E M_{2}$ begrenzt. Die rote, kleinere Kreisfläche ist die Schnittfläche mit dem Kegel und darf folglich nicht in den Oberflächeninhalt eingerechnet werden.

Um den Flächeninhalt des Kreisrings zu bestimmen, subtrahierst du den Flächeninhalt des Kreises mit Radius $E M_{2} = r_{2} = 4 cm$ von dem Flächeninhalt des Kreises mit Radius $F M_{2} = r_{3} = 0,8 cm$ .

$A_{Kreisring}$	$=$	$π \cdot r_{2}^{2} - π \cdot r_{3}^{2}$
	↓	Setze die beiden Radien ein.
	$=$	$π \cdot {(4 cm)}^{2} - π \cdot {(0,8 cm)}^{2}$
	↓	Vereinfache so weit wie möglich.
	$=$	$16 \cdot π {cm}^{2} - 0,64 \cdot π {cm}^{2}$
	↓	Vereinfache weiter.
	$=$	$15,36 \cdot π {cm}^{2}$
	↓	Berechne und runde auf eine Nachkommastelle.
	$\approx$	$48,2 {cm}^{2}$

Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt circa $48,2 {cm}^{2}$ .

Oberflächeninhalt des Kegels

Für den Oberflächeninhalt eines Kegels gilt $O = G + M$

mit Grundfläche $G = r \cdot 2 \cdot π$ und

Mantelfläche $M = r \cdot m \cdot π$ .

Außerdem beschreibt $m$ die Mantellinie und $r$ den Radius.

Für $m$ gilt nach dem Satz des Pythagoras $m = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ .

Mit Hilfe des Radius $r$ und der Höhe $h$ kannst du nun den Oberflächeninhalt allgemein bestimmen.

Für den Oberflächeninhalt des gesamten Rotationskörpers sind lediglich die äußeren Oberflächenstücke entscheidend. Infolgedessen fällt die Grundfläche des Kegels für diese Betrachtung weg.

Deshalb erhältst du den Oberflächeninhalt dadurch, dass du die Mantelfläche $M_{Kegel}$ des Kegels errechnest und davon die Mantelfläche der abgegrenzten Kegelspitze $M_{Kegelspitze}$ abziehst.

Es ergibt sich also:

$O_{Kegelstumpf}$	$=$	$M_{Kegel} - M_{Kegelspitze}$
	$=$	$r_{Kegel} \cdot m_{Kegel} \cdot π - r_{Kegelspitze} \cdot m_{Kegelspitze} \cdot π$
	$=$	$r_{Kegel} \cdot \sqrt{r_{Kegel}^{2} + h_{Kegel}^{2}} \cdot π - r_{Kegelspitze} \cdot \sqrt{r_{Kegelspitze}^{2} + h_{Kegelspitze}^{2}} \cdot π$
	$=$	$A M_{1} \cdot \sqrt{{A M_{1}}^{2} + {S M_{1}}^{2}} \cdot π - F M_{2} \cdot \sqrt{{F M_{2}}^{2} + {S M_{2}}^{2}} \cdot π$
	$=$	$2 cm \cdot \sqrt{{(2 cm)}^{2} + {(10 cm)}^{2}} \cdot π - 0,8 cm \cdot \sqrt{{(0,8 cm)}^{2} + {(4 cm)}^{2}} \cdot π$
	$\approx$	$64,1 {cm}^{2} - 10,3 {cm}^{2}$
	$=$	$53,8 {cm}^{2}$

Der Oberflächeninhalt des Kegelstumpfes beträgt gerundet $53, 8 {cm}^{2}$ .

Oberflächeninhalt des gesamten Rotationskörpers

Für den Oberflächeninhalt des gesamten Rotationskörper sind lediglich die äußeren Oberflächenstücke entscheidend.

Deshalb addiert man für die Gesamtoberfläche den Oberflächeninhalt der großen Halbkugel, den Flächeninhalt des Kreisrings, den Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs und den Oberflächeninhalt der kleineren Halbkugel.

$O_{Gesamt} = \underset{große Halbkugel}{\underset{⏟}{100,5 {cm}^{2}}} + \underset{Kreisring}{\underset{⏟}{48,3 c m^{2}}} + \underset{Kegelstumpf}{\underset{⏟}{53,8 c m^{2}}} + \underset{kleine Halbkugel}{\underset{⏟}{25,1 c m^{2}}} = 227,7 c m^{2}$

Der Oberflächeninhalt umfasst also $227,7 c m^{2}$ .

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$A B$	$=$	$\sqrt{0^{2} + {(- 1 - \frac{3}{x})}^{2}}$
	↓	$0^{2}$ kann weggelassen werden.
	$=$	$\sqrt{{(- 1 - \frac{3}{x})}^{2}}$
	↓	Wir klammern $(- 1)$ aus, wobei das ² mitgenommen werden muss.
	$=$	$\sqrt{(- 1)^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x})^{2}}$
	↓	$(- 1)^{2} = 1$
	$=$	$\sqrt{(1 + \frac{3}{x})^{2}}$
	↓	Wurzel und Quadrat heben sich auf.
	$=$	$1 + \frac{3}{x}$
	↓	Die Strecke $A_{n} B_{n}$ soll $6 cm$ lang sein.
$6$	$=$	$1 + \frac{3}{x}$	$- 1$
	↓	Forme um.
$5$	$=$	$\frac{3}{x}$
$5 x$	$=$	$3$	$: 5$
$x$	$=$	$\frac{3}{5} = 0,6$

$b^{2}$	$=$	$a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$
	↓	Die Seiten $a$ und $c$ sind die, die den bekannten Winkel einschließen. Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$(82 m)^{2} + (82 m)^{2} - 2 \cdot 82 m \cdot 82 m \cdot \cos (120^{\circ})$
	↓	Berechne.
	$=$	$20172 m^{2}$	$\sqrt{}$
$b$	$\approx$	$142 m$

$a^{2} + b^{2}$	$=$	$c^{2}$
	↓	Forme zunächst um.
$b^{2}$	$=$	$c^{2} - a^{2}$	$\sqrt{}$
$b$	$=$	$\sqrt{c^{2} - a^{2}}$
	↓	Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$\sqrt{(82 m)^{2} - (71 m)^{2}}$
	$\approx$	$41 m$

$U$	$=$	$2 π r$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$2 \cdot π \cdot 82 m$
	$=$	$515,22 m$

$10 \min$	$≙$	$121 Umdrehungen$	$\cdot 6$
$60 \min$	$≙$	$726 Umdrehungen$

$515,22 m$	$≙$	$1 Umdrehungen$	$\cdot 726$
$374049,72 m$	$≙$	$726 Umdrehungen$

$Z A : A C$	$=$	$Z B : B D$
	↓	Setze ein
$\frac{Mast}{82 m}$	$=$	$\frac{42 m}{25 m}$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $82 m$ .
$Mast$	$=$	$\frac{42 m}{25 m} \cdot 82 m$
	↓	Berechne und runde auf eine ganze Zahl.
	$\approx$	$138 m$

$C D : A B$	$=$	$Z C : Z A$
	↓	Schreibe die Division als Brüche.
$\frac{C D}{A B}$	$=$	$\frac{Z C}{Z A}$
	↓	Setze in die Gleichung ein.
$\frac{4 cm}{0,8 cm}$	$=$	$\frac{S M_{1}}{2 cm}$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten mit $2 cm$ .
$S M_{1}$	$=$	$\frac{4 cm}{0,8 cm} \cdot 2 cm$
	↓	Berechne
$S M_{1}$	$=$	$10 cm$

Nachtermin Teil A

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe a

Länge der Strecke [FM2]

Länge der Strecke [SM1]

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Lösung zur Teilaufgabe b

Allgemeines

Oberflächeninhalt der kleineren Halbkugel

Oberflächeninhalt der größeren Halbkugel

Flächeninhalt des Kreisrings

Oberflächeninhalt des Kegels

Oberflächeninhalt des gesamten Rotationskörpers

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Länge der Strecke $[F M_{2}]$

Länge der Strecke $[S M_{1}]$