Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Die Skizze zeigt ein vereinfachtes Modell einer Windkraftanlage. Die drei Rotorblätter sind so angeordnet, dass sie eine drehsymmetrische Figur ergeben. Ein Mast dient zur Aufhängung der Rotorblätter.

Der Rotordurchmesser beträgt $164$ Meter (siehe Skizze).

Für das Rotorblatt werden in $10$ Minuten $121$ Umdrehungen gezählt.
Berechnen Sie, welchen Weg $s$ die Spitze eines Rotorblattes nach einer Stunde unter denselben Bedingungen zurückgelegt hat.
Runden Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer.
km

Lösung zur Teilaufgabe a
Die Strecke, die die Spitze des Rotorblattes zurücklegt, entspricht dem Umfang des Kreises. Berechne also zuerst den Umfang!
$d = 164 m$
Berechne den Radius oder wähle die Umfangsformel, die den Durchmesser verwendet.
$r = \frac{d}{2} = \frac{164 m}{2} = 82 m$
$U = 2 r π = d π$
$U$ $=$ $2 π r$
↓
Setze die Werte ein.
$=$ $2 \cdot π \cdot 82 m$
$=$ $515,22 m$
Diese Strecke legt die Spitze des Rotorblattes bei einer Umdrehung zurück.
Aus der Angabe ist bekannt, dass das Rotorblatt in zehn Minuten $121$ Umdrehungen schafft. Rechne mit dem Dreisatz aus, wie viel es in einer Stunde, also sechzig Minuten, sind.
$10 \min$ $≙$ $121 Umdrehungen$ $\cdot 6$
$60 \min$ $≙$ $726 Umdrehungen$
In einer Umdrehung legt man den Umfang des Kreises zurück. Löse erneut mit dem Dreisatz!
$515,22 m$ $≙$ $1 Umdrehungen$ $\cdot 726$
$374049,72 m$ $≙$ $726 Umdrehungen$
Das Ergebnis soll in Kilometer angegeben werden. Rechne um.
$374049,72 m = 374 km$
Die Rotorspitze legt in einer Stunde $374$ Kilometer zurück.
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Die Skizze zeigt, wie die Rotorblätter in einem rechteckigen Feld in einer Montagehalle lagen, als man sie probeweise aneinander montierte.

Berechnen Sie die Seitenlängen $l$ und $b$ dieses rechteckigen Feldes.

Runden Sie auf ganze Meter.

Die Sonne steht so, dass der Schatten des Rotorblattes, dessen Spitze senkrecht nach oben zeigt, $25 cm$ lang ist. Der Schatten des Mastes endet in einer Entfernung von $42 cm$ vom Mittelpunkt des Mastes (siehe Skizze).
Berechnen Sie die Gesamthöhe $h$ der Windkraftanlage. Runden Sie auf ganze Meter.
m

Lösung zur Teilaufgabe c
Gegeben hast du zwei durch $Z$ verlaufende Geraden $(B D$ und $C A)$ , die von zwei parallelen Geraden $(A B | | C D)$ geschnitten werden. Deshalb nutzt du den Vierstreckensatz.
Zunächst berechnest du die Höhe des Mastes und addierst danach die Länge der Strecke $A C = 82 m$ . Somit erhältst du die Gesamthöhe des Windrades.
Zuerst stellst du folgende Gleichung zum Strahlensatz auf. Diese findest du auch in der Formelsammlung.
$Z A : A C$ $=$ $Z B : B D$
↓
Setze ein
$\frac{Mast}{82 m}$ $=$ $\frac{42 m}{25 m}$
↓
Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $82 m$ .
$Mast$ $=$ $\frac{42 m}{25 m} \cdot 82 m$
↓
Berechne und runde auf eine ganze Zahl.
$\approx$ $138 m$
Im letzten Schritt berechnest du die Gesamthöhe der Windkraftanlage. Addiere dafür die Höhe des Mastes mit der Länge des Rotorblattes.
$h_{gesamt} = 138 m + 82 m = 220 m$
Die gesamte Höhe der Windkraftanlage beträgt $220 m$ .
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$b^{2}$	$=$	$a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$
	↓	Die Seiten $a$ und $c$ sind die, die den bekannten Winkel einschließen. Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$(82 m)^{2} + (82 m)^{2} - 2 \cdot 82 m \cdot 82 m \cdot \cos (120^{\circ})$
	↓	Berechne.
	$=$	$20172 m^{2}$	$\sqrt{}$
$b$	$\approx$	$142 m$

$a^{2} + b^{2}$	$=$	$c^{2}$
	↓	Forme zunächst um.
$b^{2}$	$=$	$c^{2} - a^{2}$	$\sqrt{}$
$b$	$=$	$\sqrt{c^{2} - a^{2}}$
	↓	Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$\sqrt{(82 m)^{2} - (71 m)^{2}}$
	$\approx$	$41 m$

$U$	$=$	$2 π r$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$2 \cdot π \cdot 82 m$
	$=$	$515,22 m$

$10 \min$	$≙$	$121 Umdrehungen$	$\cdot 6$
$60 \min$	$≙$	$726 Umdrehungen$

$515,22 m$	$≙$	$1 Umdrehungen$	$\cdot 726$
$374049,72 m$	$≙$	$726 Umdrehungen$

$Z A : A C$	$=$	$Z B : B D$
	↓	Setze ein
$\frac{Mast}{82 m}$	$=$	$\frac{42 m}{25 m}$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $82 m$ .
$Mast$	$=$	$\frac{42 m}{25 m} \cdot 82 m$
	↓	Berechne und runde auf eine ganze Zahl.
	$\approx$	$138 m$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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