Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

Die Skizze zeigt ein vereinfachtes Modell einer Windkraftanlage. Die drei Rotorblätter sind so angeordnet, dass sie eine drehsymmetrische Figur ergeben. Ein Mast dient zur Aufhängung der Rotorblätter.

Der Rotordurchmesser beträgt $164$ Meter (siehe Skizze).

Für das Rotorblatt werden in $10$ Minuten $121$ Umdrehungen gezählt.

Berechnen Sie, welchen Weg $s$ die Spitze eines Rotorblattes nach einer Stunde unter denselben Bedingungen zurückgelegt hat.

Runden Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer.

Die Skizze zeigt, wie die Rotorblätter in einem rechteckigen Feld in einer Montagehalle lagen, als man sie probeweise aneinander montierte.

Berechnen Sie die Seitenlängen $l$ und $b$ dieses rechteckigen Feldes.

Runden Sie auf ganze Meter.

Lösung zur Teilaufgabe b

Beachte: Es muss nicht der Kreis in die Kiste passen, den die Rotorblätter erzeugen, wenn sie sich drehen, sondern nur die Rotorblätter!

Berechne zunächst die untere Seite der Kiste.

Die drei Rotorblätter bilden eine drehsymmetrische Figur.

Das bedeutet, dass die Winkel zwischen den Rotorblättern alle drei gleich groß sind.

$360^\circ : 3 =120^\circ$

Die Rotorblätter sind so lang wie der Radius, also $82\ \mathrm{m}$ .

Verwende zum Beispiel den Kosinussatz.

$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle a^2+c^2-2ac\cdot\cos(\beta)$
	↓	Die Seiten $a$ und $c$ sind die, die den bekannten Winkel einschließen. Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle (82\;\text{m})^2+(82\;\text{m})^2-2\cdot 82\;\text{m}\cdot82\;\text{m}\cdot\cos(120^{\circ})$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle 20172\;\text{m}^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle b$	$≈$	$\displaystyle 142\ \mathrm{m}$

Berechne nun die Länge der Kiste.

Die Länge lässt sich in zwei Teile aufteilen:

die Länge des Rotorblattes, das 82 m lang ist.
das untere Stück, das der Länge der einen Kathete im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck entspricht.

Die andere Kathete ist die Hälfte der Basis des zuvor betrachteten gleichschenkligen Dreiecks:

$142\ \mathrm m : 2= 71\ \mathrm m$

Kathete 1: $a= 71\ \mathrm m$

Hypotenuse: $c= 82\ \mathrm m$

Wende den Satz des Pythagoras an.

$\displaystyle a^2+b^2$	$=$	$\displaystyle c^2$
	↓	Forme zunächst um.
$\displaystyle b^2$	$=$	$\displaystyle c^2-a^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \sqrt{c^2-a^2}$
	↓	Setze die bekannten Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{(82\;\text{m})^2-(71\;\text{m})^2}$
	$≈$	$\displaystyle 41\;\text{m}$

Setze nun die beiden Teile zusammen, um die Länge der Kiste zu bekommen.

$l=41\ \mathrm m + 82\ \mathrm m= 123\ \mathrm m$

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Die Sonne steht so, dass der Schatten des Rotorblattes, dessen Spitze senkrecht nach oben zeigt, $25\;\mathrm{cm}$ lang ist. Der Schatten des Mastes endet in einer Entfernung von $42\;\mathrm{cm}$ vom Mittelpunkt des Mastes (siehe Skizze).

Berechnen Sie die Gesamthöhe $h$ der Windkraftanlage. Runden Sie auf ganze Meter.

$\displaystyle U$	$=$	$\displaystyle 2\pi r$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot82\ m$
	$=$	$\displaystyle 515{,}22\ \mathrm{m}$

$\displaystyle 10\ \mathrm{\min}$	$≙$	$\displaystyle 121\ \text{Umdrehungen}$	$\displaystyle \cdot6$
$\displaystyle 60\ \mathrm{\min}$	$≙$	$\displaystyle 726\ \text{Umdrehungen}$

$\displaystyle 515{,}22\ \mathrm{m}$	$≙$	$\displaystyle 1\ \text{Umdrehungen}$	$\displaystyle \cdot726$
$\displaystyle 374049{,}72\ \mathrm{m}$	$≙$	$\displaystyle 726\ \text{Umdrehungen}$

$\displaystyle \overline{ZA}\;:\;\overline{AC}\;$	$=$	$\displaystyle \;\overline{ZB}\;:\;\overline{BD}$
	↓	Setze ein
$\displaystyle \displaystyle\frac{\text{Mast}}{82\;\text{m}}$	$=$	$\displaystyle \frac{42\;\text{m}}{25\;\text{m}}$
	↓	Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit $82\;\mathrm{m}$ .
$\displaystyle \displaystyle \text{Mast}$	$=$	$\displaystyle \frac{42\;\text{m}}{25\;\text{m}}\;\cdot\;82\;\text{m}$
	↓	Berechne und runde auf eine ganze Zahl.
	$≈$	$\displaystyle \;138\;\text{m}$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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