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Aufgaben


Punkte für Aufgabe 1.1: 2 P

Punkte für Aufgabe 1.2: 1 P

Punkte für Aufgabe 1.3: 2 P

Lösung zu A1.1

Um die Wertetabelle zu befüllen, setze die %%x%%-Werte in die Funktion %%f: y=3500\cdot 0,85^x%%

%%x%%

0

1

2

3

4

5

6

7

8

%%3500\cdot0,85^x%%

3500

2975

2529

2149

1827

1553

1320

1122

954

Übertrage nun die Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem:

Lösung zu A1.2

Die Funktion f liefert laut Angabe den Restwert des Fahrrads. Der Wertverlust ist die Differenz aus dem ursprünglichen Preis und dem Preis nach 3 Jahren. Nimm diese aus der Tabelle:

  • Preis im Jahr 0: 3500 €
  • Preis im Jahr 3: 2149 €

%%\Rightarrow%% Wertverlust: 1351 €

Lösung zu A1.3

Das Fahrrad ist noch die Hälfte seines ursprünglichen Preises wert, also:

%%3500\ € : 2= 1750\ €%%

Dies ist ein %%y%%-Wert. Suche den zugehörigen %%x%%-Wert.

Da der %%x%%-Wert ungefähr in der Mitte zwischen 4 und 5 Jahren liegt, halbiert sich der Wert des Fahrrads nach ungefähr 4,5 Jahren.

Lösung zu A2.1

Der Winkel %%\delta%% lässt sich zerlegen in zwei Teilwinkel, %%\delta_1%% und %%\delta_2%%.

%%\delta_2%% ist ein rechter Winkel, denn die Seiten %%\overline{AB}%% und %%\overline{DC}%% im Trapez %%ABCD%% sind parallel und %%\overline{DL}%% ist als Höhe des Trapez senkrecht auf diese beide Seiten.

%%\delta_2=90^\circ%%

%%\delta_1%% lässt sich mit den Trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Die Seite %%\overline{AL}%% ist die Gegenkathete zum Winkel %%\delta_1%%, die Seite %%\overline{DL}%% die Ankathete.

Du verwendest deshalb den Tangens:

%%tan(\delta_1)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{3}{4}%%

%%\delta_1=\tan^{-1}(\frac{3}{4})%%

%%\delta_1= 36,87\ ^\circ%%

Setze nun die beiden Winkel zusammen.

%%\delta= \delta_1+\delta_2= 36,87\ ^\circ+90\ ^\circ= 126,87\ ^\circ%%

Lösung zu A2.2

Verschiebe den Punkt B um 2 cm nach außen, von A weg und den Punkt C und D jeweils 2 cm nach unten.

Lösung zu A2.3

Das gesuchte Trapez ist genau das aus Aufgabe A2.3!

Die Strecke %%\overline{AL}%% bleibt immer 3 cm , Die Strecke %%\overline{DC}=\overline{LE}%% bleibt immer 4,5 cm. Damit das Trapez gleichschenklig (bzw. symmetrisch) wird, muss %%\overline{EB_1}%% ebenfalls 3 cm lang sein.

Das passiert, wenn man den Punkt B um 2 cm nach außen schiebt, also für x=2 cm.

Lösung zu A2.4

Zunächst brauchst du die allgemeine Formel für die Fläche des Trapez:

%%A_{Trapez}=\frac{a+c}{2}\cdot h%%

Die Strecke %%a=\overline{DC}%% bleibt fest, die anderen beiden verändern sich!

%%a=\overline{DC}=4,5%%

Die Strecken %%c=\overline{AB_n}%% und %%h=\overline{D_nL}%% verändern sich in Abhängigkeit von x.

c wird um x cm verängert, h um x cm verkürzt.

%%c=\overline{AB}+x= 9 +x%%
%%h= \overline{DL}-x= 4-x%%

Setze alle Strecken in die Formel ein.

%%\begin{array}{lcl} A_{Trapez}(x) & = & \frac{4,5+9+x}{2}\cdot(4-x)\\ & =& \frac{13,5 +x}{2}\cdot(4-x) \\ & = &(6,75 +0,5x)(4-x)\\ &=& 27-6,75x+2x-0,5x^2\\ &=&-0,5x^2-4,75x+27 \end{array}%%

Lösung zu A2.5

Die Fläche des Trapez soll %%28\ \mathrm{cm}^2%% sein, das ist der Wert der Funktion %%A_{Trapez}(x)%%.
Setze das Ergebnis aus A2.4 mit 28 gleich.

%%\begin{array}{rcll} 28&=&-0,5x^2-4,75x+27 &|-28 \\ 0&=& -0,5x^2-4,75x-1\\ \end{array}%%

Bringe die Gleichung auf die Form %%ax^2+bx+c=0%% um die Mitternachtsformel anzuwenden.

%%x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}%%

Setze die Werte ein.

%%x_{1/2}=\frac{4,75\pm \sqrt{(-4,75)^2-4\cdot (-0,5)\cdot (-1)}}{2\cdot (-0,5)}%%
%%x_{1}=-9,28%%
%%x_2=-0,22%%

Beide Werte liegen nicht im Bereich %%]0;4[%%. Deshalb gibt es kein Trapez, das diese Vorgaben erfüllt

Punkte für Aufgabe 3.1: 2 P Punkte für Aufgabe 3.2: 3 P

Lösung zu A3.1

Berechne die Streckenlänge %%\overline{FM}%%

Verwende, dass das Dreieck BFM rechtwinklig ist.

Die Streckenlänge %%\overline{BM}=4,5\; \mathrm{cm}%% im Dreieck ist gegeben.

Ebenso der Winkel %%\sphericalangle BFM= 77°%%.

Verwende den Tangens im rechwinklingen Dreieck, um die Seitenlänge %%\overline{FM}%% zu berechnen.

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete direkt am Winkel.

Also ist %%\overline{FM}%% die Ankathete und %%\overline{BM}%% die Gegenkathete.

%%tan(\sphericalangle BFM)=\frac{\overline{BM}}{\overline{FM}}%%

Forme um. Die Strecke %%\overline{FM}%% ist gegeben.

%%tan(\sphericalangle BFM)\cdot \overline{FM} =\overline{BM}%%

%%\overline{FM}= \frac{\overline{BM}}{tan(\sphericalangle BFM)}%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%\overline{FM}= \dfrac{4,5}{tan(77^\circ)}= 1,04\; \mathrm{cm}%%

Berechne die Streckenlänge %%\overline{GN}%%

Verwende den Vierstreckensatz für die Strecken %%\overline{FM}%%,%%\overline{GN}%%, %%\overline{BM}%% und %%\overline{BN}%%

Gegeben ist:
%%\overline{BM}= 4,5\;\mathrm{cm}%%

Außerdem ist bekannt:
%%\overline{AN}=\overline{BN}%%
wobei aufgrund der Achsensymmetrie des Axialschnitts gilt: %%\overline{AN} =\overline{AC}:2 = 5\, \mathrm{cm}:2 = 2,5 \;\mathrm{cm}%%

Du hast gerade berechnet:
%%\overline{FM}= 1,04\;\mathrm{cm}%%

Forme den Vierstreckensatz nach %%\overline{GN}%% um:

%%\frac{\overline{GN}}{\overline{FM}}=\frac{\overline{BN}}{\overline{BM}}%%

%%| \cdot \overline{FM}%%

%%\overline{GN}=\frac{\overline{BN}}{\overline{BM}}\cdot \overline{FM}%%

Setze die gegebenen Werte ein.

%%\overline{GN}= \frac{2,5\; \mathrm{cm}}{4,5\;\mathrm{cm}}\cdot 1,04\ \mathrm{cm}%%

Berechne.

%%\overline{GN} = 0,58 \ \mathrm{cm}%%

Lösung zu A3.2

Das Volumen setzt sich zusammen aus:

Berechne das Volumen der Halbkugel

Wir benötigen die Hälfte des Kugelvolumens:

%%V_{Halbkugel}= V_{Kugel} :2%%

Setze die Formel für das Kugelvolumen ein.

%%V_{Halbkugel}= \frac{4}{3}r^3\pi:2%%

Rechne soweit wie möglich zusammen.

%%V_{Halbkugel}= \frac{2}{3}r^3\pi%%

Der Radius r ist die Strecke %%\overline{AN}= 2,5 \ \mathrm{cm}%%. Setze ein.

%%V_{Halbkugel} = \frac{2}{3}\cdot 2,5^3 \pi\ \mathrm{cm}^3%%

Berechne.

%%V_{Halbkugel}\approx 32,72 \ \mathrm{cm}^3%%

Berechne das Volumen des Kegelstumpfes

Das Volumen eines Kegelstumpfes erhält man, wenn man vom Volumen des großen Kegels das Volumen der abgeschnittenen Spitze, also das des kleinen Kegels abzieht.

Berechne zuerst das Volumen des großen Kegels:

Der Radius %%r%% ist die Strecke %%\overline{FM}= 1,04 \ \mathrm{cm}%%.
Die Höhe %%h%% ist die Strecke %%\overline{BM}= 4,5\ \mathrm{cm}%%.

%%V_{Kegel1}= \frac{1}{3}\ r^2 \pi h%%

Setze die Werte ein.

%%V_{Kegel1}= \frac{1}{3}\cdot (1,04 \ \mathrm{cm})^2 \cdot \pi \cdot 4,5 \ \mathrm{cm}%%

Berechne.

%%V_{Kegel1} \approx 5,10\ \mathrm{cm}^3%%

Berechne anschließend das Volumen des kleinen Kegels, der in der Halbkugel steckt:

Der Radius %%r%% ist die Strecke %%\overline{GN}=0,58 \ \mathrm{cm}%%.
Die Höhe %%h%% ist die Strecke %%\overline{BN}= \overline{AN}=2,5 \ \mathrm{cm}%%.

%%V_{Kegel2}= \frac{1}{3}\ r^2 \pi h%%

Setze die Werte ein.

%%V_{Kegel2}= \frac{1}{3}\cdot (0,58 \ \mathrm{cm})^2 \cdot \pi \cdot 2,5\ \mathrm{cm}%%

Berechne.

%%V_{Kegel2}\approx 0,88 \ \mathrm{cm}^3%%

Ziehe das Volumen des kleinen Kegels vom großen Kegel ab:

%%V_{Stumpf}=V_{Kegel1}-V_{Kegel2}= 5,10\ \mathrm{cm}^3 - 0,88 \ \mathrm{cm}^3= 4,22 \ \mathrm{cm}^3%%

Setze die Volumina zusammen:

%%V_{Kreisel} = V_{Halbkugel} + V_{Stumpf} = 32,72 \ \mathrm{cm}^3+4,22 \ \mathrm{cm}^3= 36,94 \ \mathrm{cm}^3%%

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