Teil B - lernen mit Serlo!

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1.0 Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y=-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5~~(\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ .

Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = - 0,5$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1 Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung

$y=\log_{0{,}5}x-0{,}75$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$ $\times$ $\mathbb{R}$ hat.

1.2 Zeichnen Sie die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ für $x\in\ [0{,}5;11]$ in ein Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ .

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1$ cm; $-1\leq x\leq12; -5\leq y\leq6$ .

1.3 Punkte $A_n(x|-2\cdot \log_{0{,}5}x-1{,}5$ ) auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $B_n(x|\log_{0{,}5}x-0{,}75)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Sie sind für $x \gt 1{,}19$ zusammen mit Punkten $C_{n}$ Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ .

Es gilt: $\overrightarrow{A_nC_n}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}$ .

Zeichnen Sie das Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und das Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 7$ in das Koordinatensystem zu 1.2 ein.

1.4 Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ ist gleichschenklig mit der Basis $[A_{3} B_{3}]$ . Bestimmen Sie rechnerisch die $x$ -Koordinate des Punktes $A_{3}$ .

1.5 Berechnen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte $S_{n}$ der Dreiecke $A_{n} B_{n} C_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $S_{n}$ an.

Zeichnen Sie sodann die Schwerpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ der Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ in das Koordinatensystem zu 1.2 ein.

Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.1

Die Gleichung von $f_{1}$ wird zunächst mit Hilfe der orthogonalen Affinität zur $x$ -Achse mit dem Affinitätsfaktor $k = - 0,5$ abgebildet:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ -2\cdot \log_{0{,}5}x-1{,}5 \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-0{,}5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ -2\cdot \log_{0{,}5}x-1{,}5 \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} x \\ -0{,}5 \cdot \left(-2\cdot \log_{0{,}5}x-1{,}5 \right)\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} x \\ \log_{0{,}5}x+0{,}75 \end{pmatrix} \end{array}

Im zweiten Schritt wird die Funktion $f^{'}$ parallel um den Vektor $\vec v=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ verschoben:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} x''\\ y''\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x' \\ \log_{0{,}5}x'+0{,}75 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} v_x\\ v_y\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x' \\ \log_{0{,}5}x'+0{,}75 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} x'+0 \\ \log_{0{,}5}x'+0{,}75-1{,}5 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x''\\ y''\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix} x' \\ \log_{0{,}5}x'-0{,}75\end{pmatrix} \end{array}\\

Daraus ergibt sich nun $f_2:y=\log_{0{,}5}x-0{,}75$ .

Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.2

Hinweis: die Zeichnung der Graphen der Funktionen ist nur im Bereich $x \in [0{,}5;11]$ nötig.

Berechnung der Nullstellen der Funktion $f_{1}$ :

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcc} -2 \cdot \log_{0{,}5}x-1{,}5&=&0\\ -2 \cdot \log_{0{,}5}x&=&1{,}5\\ \log_{0{,}5}x&=&-0{,}75\\ x&=&0{,}5^{-0{,}75}\\ x&\approx&1{,}68 \end{array}\\ \mathbb{L}=\{1{,}68\}

Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.3

Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.4

Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ soll gleichschenklig sein. Daher müssen einerseits die beiden Schenkel $\overline {A_3C_3}$ und $\overline {B_3C_3}$ des Dreiecks gleich lang sein. Dies bringt uns hier allerdings nicht weiter. Andererseits benötigen wir ja nur die $x$ -Koordinate das Punktes $A_{3}$ .

Da $x_{C_n}$ wegen $\vec v=\begin{pmatrix} 0\\ -1{,}5\end{pmatrix}$ immer $- 1,5$ $\text{LE}$ unter $x_{A_n}$ liegt, muss für den Abstand $A_{3}$ und $B_{3}$ im gleichschenkligen Dreieck

\displaystyle \overline{A_3B_3}=2\cdot 1{,}5~\text{LE}= 3~\text{LE}

gelten.

Die Länge der Strecke $\overline{A_nB_n}(x)$ berechnet sich durch Subtraktion der Funktionsgleichungen $f_{1} - f_{2}$ :

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overline{A_nB_n}(x) &=&\left[-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5 - \left(\log_{0{,}5}x-0{,}75\right)\right]\text {LE}\\ &=&\left[-2\cdot \log_{0{,}5}x-1{,}5 - \log_{0{,}5}x+0{,}75\right]\text {LE}\\ &=&\left[-3\cdot \log_{0{,}5}x-0{,}75\right]\text {LE} \end{array} \\

Nun soll die Länge $\overline{A_nB_n}(x)=3$ sein:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} -3\cdot\log_{0{,}5}x-0{,}75&=&3\\ -3\cdot\log_{0{,}5}x&=&3{,}75\\ \log_{0{,}5}x&=&-1{,}25\\ x&=&0{,}5^{-1{,}25}\\ x&\approx&2{,}38 \end{array}

Damit gilt für $x_{A_3} = 2{,}38$ .

Lösungsvorschlag zu Teilaufgabe 1.5

Zur Berechnung des Schwerpunkts im Dreieck mithilfe der Koordinaten seiner Eckpunkte gibt es eine Formel:

\displaystyle S\left(\left.\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\right|\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).

Die Koordinaten der Punkte $A_{n}$ und $B_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ sind dir aus B 1.3 schon bekannt.

Die Koordinaten der Punkte $C_{n}$ erhältst du durch die Berechnung:

\displaystyle \overrightarrow {OC_n}= \overrightarrow {A_nC_n} + \overrightarrow{OA_n}

und damit

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \overrightarrow {OC_n}&=&\begin{pmatrix} x\\ -2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4\\ -1{,}5\end{pmatrix}\\ \overrightarrow {OC_n}&=&\begin{pmatrix} x+4\\ -2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5-1{,}5 \end{pmatrix}\\ \overrightarrow {OC_n}&=&\begin{pmatrix} x+4\\ -2\cdot\log_{0{,}5}x-3 \end{pmatrix}\\ \\ &&C_n(x+4|-2\cdot\log_{0{,}5}x-3) \end{array}

Daraufhin setzt du die Punktkoordinaten in die Schwerpunktformel ein:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rl} &S_n\left(\left.\dfrac{x+x+x+4}{3}\right|\dfrac{-2\cdot\log_{0{,}5}x-1{,}5+\log_{0{,}5}x-0{,}75-2\cdot\log_{0{,}5}x-3}{3}\right)\\ \Rightarrow&S_n\left(\left.\dfrac{3x+4}{3}\right|\dfrac{-3\cdot\log_{0{,}5}x-5{,}25}{3}\right)\\ \Rightarrow&S_n\left(\left.{x+1{,}33}\right|-\log_{0{,}5}x-1{,}75\right). \end{array}

Den Trägergraphen des Schwerpunkts $S_{n}$ erhältst du folgendermaßen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} \text{(I)}&x_{S_n}&=&x+1{,}33\\ \text{(II)}&\wedge~y_{S_n}&=&-\log_{0{,}5}x-1{,}75\\ \\ \text{(I')}&x_{S_n}-1{,}33&=&x\\ \\ \text{(I' in II):}&y_{S_n}&=&-\log_{0{,}5}(x_{S_n}-1{,}33)-1{,}75. \end{array} \\

Damit gilt für den Trägergraphen von $S_{n}$ :

\displaystyle y=-\log_{0{,}5}(x-1{,}33)-1{,}75

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