Aufgaben

Berechne für ein Rechteck die fehlenden Größen:

 

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

b)

30 cm

1,4 m

c)

120 m

6 ha

d)

80 cm

4 m²

$$$$

Länge l

Breite b

Flächeninhalt A

Umfang U

a)

5 cm

7 dm

3,5 dm²

15dm

b)

30 cm

0,4 m

0,12 m²

1,4 m

c)

500 m

120 m

6 ha

1240 m

d)

80 cm

5 m

4 m²

11,6 m

a) Berechnung Flächeninhalt A und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 5cm Breite b = 7dm

Gesucht: Flächeninhalt A und Umfang U

Die Länge l musst du erst in die Einheit dm umrechnen.

$$A=0,5dm\cdot7dm=3,5dm²$$ $$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot0,5dm+2\cdot7dm=15dm$$

Die Länge l wird mit der Breite b multipliziert um den Flächeninhalt A zu erhalten.

Die Werte werden für l und b eingesetzt um das Ergebnis von U zu erhalten.

b) Berechnung Breite b und Flächeninhalt A

Gegeben:

Länge l = 30cm
Umfang U = 1,4m

Gesucht: Breite b und Flächeninhalt A

Die Länge l wird in Meter umgerechnet und der Anteil am Umfang U abgezogen

$$U=2l+2b$$ $$U-2l=1,4m-2\cdot0,3m=0,8m$$ $$2b=0,8m$$ $$b=0,8m:2=0,4m$$ $$A=l\cdot b$$ $$A=0,3m\cdot0,4m=0,12m²$$

Die Breite b bekommst du aus dem Umfang U, indem die Länge l abgezogen wird und die Breite b durch Teilen (Division) hervorgeht.

Um von 2b (2 mal b) den Wert für b rauszubekommen, teilst du das Ergebnis durch 2.

Durch die erhaltene Breite b kannst du dann den Flächeninhalt A ausrechnen.

c) Berechnung Länge l und des Umfang U

Gegeben:

Breite b = 120m
Flächeninhalt A = 6ha

Gesucht: Länge l und Umfang U

Der Flächeninhalt A wird in umgerechnet und durch die Breite b geteilt.

$$A=l\cdot b$$ $$A=60000m²:120m=500m$$ $$l=500m$$

Um die Länge l zu erhalten, teilst du den Flächeninhalt A durch die Breite b.

Als Ergebnis kommt der andere Teil vom Flächeninhalt, die Länge l als Ergebnis heraus.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot500m+2\cdot120m=1240m$$

Die Werte der Länge l und der erhaltenen Breite b werden eingesetzt, das Ergebnis ist der Umfang.

d) Berechnung Breite b und Umfang U

Gegeben:

Länge l = 80cm
Flächeninhalt A = 4m²

Gesucht: Breite b und Umfang U

Die Länge l rechnest du in Metern um, damit der Flächeninhalt durch l geteilt wird.

$$A=l\cdot b$$ $$A=4m²:0,8m=5m$$

$$l=5m$$

Durch Teilen vom Flächeninhalt durch die vorhandene Länge l bekommst du das Ergebnis der Breite b.

$$U=2l+2b$$ $$U=2\cdot5m+2\cdot0,8m=9,6m$$

Für den Umfang müssen die Länge l und die ausgerechnete Breite b eingesetzt werden

Wie lang muss ein Zaun sein, der ein quadratisches Grundstück der Fläche 6a  25m26a\;25m^2 umgibt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Viereck

Seitenlänge des Grundstücks

6a  25m26\,a\;25\,m^2
6 Ar umrechnen in Quadratmeter und die gegebene Fläche in die Flächenformel des Quadrats einsetzen.
x2=625m2x^2=625\,m^2
Überlege: Welche Zahl im Quadrat ergibt 625?
x=25mx=25\,m

Umfang des Grundstücks

x=25mx=25\,m
Nimm die Seite des Quadrats mal 4 um den Umfang zu berechnen.
U=425m=100mU=4\cdot25\,m=100\,m
\Rightarrow Der Zaun muss 100m100\,m lang sein.
Ein Rechteck hat den Umfang 64  cm64 \;\text{cm}. Eine Seite ist 13  cm13 \;\text{cm} länger als die benachbarte Seite. Berechne die Seitenlängen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

U=64cmU=64cm
U=2a+2bU=2a+2b
U=2a+2(a+13cm)=4a+26cmU=2a+2(a+13\mathrm{cm})=4a+26\mathrm{cm}
64cm=4a+26cm64\mathrm{cm}=4a+26\mathrm{cm} 26cm\mid-26\mathrm{cm} :4\mid:4
a=9,5cma=9,5\mathrm{cm}
b=a+13cm=22,5cmb=a+13\mathrm{cm}=22,5\mathrm{cm}

Berechne x am Rechteck ABCD. (Die Zeichnung ist nicht maßstabgerecht.)

 

Gesucht: %%x%%

Zwei gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang.

%%9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}=3,22\mathrm{cm}+x\mathrm{cm}%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x\mathrm{cm}=9,37\mathrm{cm}+4,84\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

Rechne die rechte Seite aus.

%%x\mathrm{cm}=14,21\mathrm{cm}-3,22\mathrm{cm}%%

%%x\mathrm{cm}=10,99\mathrm{cm}%%

Also: %%x=10,99%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aufstellen und Lösen von Gleichungen

Variable einführen

a = Seite des Quadrats

Gleichung aufstellen

Drücke die Angaben mithilfe von a aus:
aa : Seite des Quadrats
a+3a+3 : lange Seite des Rechtecks
a2a-2 : kurze Seite des Rechtecks
a2+1a^2+1 : Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Quadrat
(a+3)(a2)(a+3)(a-2) : Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Rechteckseiten
Gleichung aufstellen:
"Quadrat + 1 = Rechteckfläche (Länge mal Breite)"
a2+1=(a+3)(a2)a^2+1=\left(a+3\right)\left(a-2\right)

Gleichung lösen

Gleichung umformen und Klammern ausmultiplizieren .
a2+1=a22a+3a6a2a^2+1=a^2-2a+3a-6 \hspace{2cm}|-a^2
1= a6+6\hspace{0.75cm} 1 =\ a-6 \hspace{3.64cm}|+6
7=a\hspace{0.75cm} 7 = a

Lösung überprüfen:

Wenn die Quadratseite 7 cm7\ cm ist, dann wäre die Fläche des Quadrats a2=49 cm2a^2=49\ cm^2 und die Fläche vom Rechteck: 10 cm5 cm=50 cm210\ cm\cdot5\ cm=50\ cm^2 und damit 1 cm21\ cm^2 größer als die Fläche des Quadrats.
Die Lösung stimmt also!

Antwortsatz

        \;\;\Rightarrow\;\; Die Länge der Seite a des Quadrats beträgt 7cm.

Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundesversammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um  %%\frac16%% der Breite b größer als b (vergleiche Abbildung).

 

  1. Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?

  2. Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.

1. Teilaufgabe

Breite %%b=18\;\mathrm{cm}%%

Länge %%l%% ist um %%\frac16%% länger als %%b%%

Stelle eine Gleichung für die Länge %%l%% auf.

%%l\;=\;\frac76\cdot b%%

Setze den gegebenen Zahlenwert für %%b%% ein.

%%l = \frac76 \cdot 18\;\mathrm{cm}%%

%%l = 21 \mathrm{cm}%%

2. Teilaufgabe

%%A=4\cdot b\cdot l+b^2%%

Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt auf. Ersetze die Breite %%b%% durch das Ergebnis für die Länge %%l%% aus der 1. Teilaufgabe

%%=4\cdot b\cdot\left(\frac76b\right)+b^2%%

Vereinfache soweit wie möglich.

%%=\frac{17}3b^2%%

Ein rechteckiges Grundstück ist 21m lang und hat einen Flächeninhalt von %%14a\;70m^2%% . Berechne die Breite und den Umfang des Grundstücks.

Gegeben:

Länge %%l = 21\;\mathrm{m}%% Flächeninhalt %%A = 14\;\mathrm{a}\; 70\;\mathrm{m^2}%%

Gesucht: Breite %%b%% und Umfang %%U%%

Rechne den gegebenen Flächeninhalt in die Einheit %%\mathrm{m^2}%% um.

%%14\;\mathrm{a}\;70\;\mathrm{m^2}=1400\;\mathrm{m^2}+70\;\mathrm{m^2} = 1470\;\mathrm{m^2}%%

Berechne die Breite %%b%% mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt.

%%A = l \cdot b%%

Setze die gegebenen Zahlenwerte für %%l%% und %%A%% ein.

%%1470\;\mathrm{m^2} = 21\;\mathrm{m} \cdot b%%

Löse die Gleichung nach %%b%% auf.

%%b = \frac{1470\;\mathrm{m^2}}{21\;\mathrm{m}} = 70\;\mathrm{m}%%

Berechne mit diesem Ergebnis den Umfang.

%%U = 2b + 2l%%

Setze die Zahlenwerte ein.

%%U = 2 \cdot 70\;\mathrm{m} +2 \cdot 21\;\mathrm{m}%%

%%U = 182\;\mathrm{m}%%

Das Rechteck hat eine Breite von 70 m und einen Umfang von 182 m.

Manuelas Zimmer ist 4 m lang, 3,5 m breit und 2,5 m hoch. Eine der beiden großen Wandflächen soll einen gelben Farbanstrich erhalten. Von einem Farbtopf mit der Aufschrift "Inhalt 2,5 l ausreichend für 20 m2\mathrm{m^2} - 25 m2\mathrm{m^2} " ist noch die Hälfte übrig. Reicht die Menge für den Anstrich der Wand? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Rechteck

Die "große" Wandfläche ist 4 m lang und 2,5 m hoch. Berechne die rechteckige Fläche der Wand.
4  m2,5  m=10  m24\;\mathrm m\cdot2,5\;\mathrm m=10\;\mathrm m^2
Überlege dir für wie viel m2\mathrm{m}^2 Wandfläche die restliche Farbe noch reicht. Es ist noch die Hälfte der Farbe da.
Die Farbe reicht für

1220  m2=10  m2\frac12 \cdot 20\; \mathrm{m^2}= 10\;\mathrm m^2

bis

1225  m2=12,5  m2\frac12 \cdot 25 \;\mathrm{m^2} = 12,5\;\mathrm m^2.
Vergleiche das Ergebnis mit der erechneten Wandfläche.
Die Farbe im Topf reicht also aus.
Ein rechteckiger Garten der Länge 12m und der Breite 9,5m soll eingezäunt werden. Wie lang ist der Zaun, wenn für zwei Gartentore jeweils 2,7m ausgespart werden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Rechtek

Länge l=12  ml = 12\;\mathrm{m}
Breite b=9,5  mb = 9,5\;\mathrm{m}
Die Zaunlänge entspricht dem Umfang eines Rechtecks. Berechne also den Umfang UU.
U=2l+2bU = 2l + 2b
Setzte die gegebenen Zahlenwerte für ll und bb ein.
U=212  m+29,5  mU = 2 \cdot 12\;\mathrm{m} + 2\cdot 9,5\;\mathrm{m}
U=43  mU = 43\;\mathrm{m}
Für zwei Gartentore sollen jeweils 2,7 m ausgespart werden. Subtrahiere also die Gesamtlänge der Gartentore von dem Umfang des Gartens.
22,7  m=5,4  m2 \cdot 2,7\;\mathrm{m} = 5,4\;\mathrm{m}
43  m5,4  m=37,6  m43\;\mathrm{m} - 5,4\;\mathrm{m} = 37,6\;\mathrm{m}
Der Zaun ist 37,6  m37,6\;\mathrm m lang.

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt %%A_Q=213444\mathrm{cm}^2%% . Ein Rechteck, in dem eine Seite doppelt so lang wie die andere ist, hat den gleichen Umfang wie das Quadrat. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck?

%%213444=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7\cdot11\cdot11%%

Berechne die Primfaktorzerlegung von 213444.

%%\Rightarrow a_Q=2\cdot3\cdot7\cdot11\mathrm{cm}=462\mathrm{cm}%%

%%U=4\cdot462\mathrm{cm}=1848\mathrm{cm}%%

Berechne den Umfang aus der Seitenlänge %%a_Q%% des Quadrats.

%%U=2a+2b%%

Berechne den Umfang des Rechtecks.

%%U=2\cdot(2\cdot b)+2\cdot b=4\cdot b+2\cdot b%%

Benutze, dass %%a=2\cdot b%% ist.

%%U=6\cdot b%%

%%b=U:6=1848\mathrm{cm}:6=308\mathrm{cm}%%

%%a=2\cdot b=2\cdot308\mathrm{cm}=616\mathrm{cm}%%

%%A_R=a\cdot b=616\mathrm{cm}\cdot308\mathrm{cm}=189728\mathrm{cm}^2%%


Aus einem Drahtstück wird ein Rechteck der Fläche 28cm228\mathrm{cm}^2 gebogen, wobei eine Seite des Rechtecks 4 cm lang ist. Welche Länge hat der Draht?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck

Zweite Seite berechnen:
b=28cm2:4cm=7cmb=28\mathrm{cm}^2:4\mathrm{cm}=7\mathrm{cm}
Länge des Drahtes:
x=2(4cm+7cm)=22cmx=2\cdot(4\mathrm{cm}+7\mathrm{cm})=22\mathrm{cm}
Durch Aneinanderlegen von 24 quadratischen Teppichfliesen soll eine lückenlose rechteckige Spielfläche gebildet werden. Jede Teppichfliese hat 0,5m Seitenlänge. Maria hat ein Rechteck mit 6 Fliesen an einer Längsseite und 4 Fliesen an einer Breitseite gelegt. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der Spielfläche. Gib alle weiteren Möglichkeiten an, aus allen 24 Fliesen eine rechteckige Spielfläche zu legen.
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