Bilde die Ableitungen der folgenden Funktionen
f(x)=x2cos(x)f\left(x\right)=x^2\cdot\cos\left(x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

f(x)=x2cos(x)\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^2\cdot\cos(x) \end{array}
Wende die Produktregel an.
f(x)=2xcos(x)+x2(sin(x))=2xcos(x)x2sin(x)\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=& 2x\cdot\cos(x)+x^2\cdot(-\sin(x)) \\&=& 2x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x) \end{array}
f(x)=sin(x)x\displaystyle f\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

Schreibe den Bruch in ein Produkt um.
f=sinxx=sinx1x=sinxx1\begin{array}{rcl} f&=&\dfrac{\sin{x}}{x} \\\\&=&\sin x\cdot\dfrac1x \\\\&=&\sin x\cdot x^{-1} \end{array}
Wende die Produktregel an.
f(x)=cosxx1+sinx(1)x2=cosxxsinxx2=1x(cosxsinxx)=xcosxsinxx2\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-1)\cdot x^{-2} \\\\&=&\dfrac{\cos x}x-\dfrac{\sin x}{x^2} \\\\&=&\dfrac1x\cdot \left(\cos x-\dfrac{\sin x}{x}\right)\\\\&=&\dfrac{x\cdot\cos x-\sin x}{x^2} \end{array}
f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel

f(x)=sin(x)cos(x)f\left(x\right)=\sin\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)
Wende die Produktregel an.
f(x)=cosxcosx+sinx(sinx)=cos2xsin2x\begin{array}{rcl} f^\prime(x)&=&\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x) \\&=&\cos^2x-\sin^2x \end{array}