Aufgaben

(Taylorentwicklung)

Im Gegensatz zur Schulmathematik, bei der meist nur die ersten drei Ableitungen nützlich sind, gibt es auch Anwendungsgebiete in der Mathematik, bei denen du beliebig viele Ableitungen brauchen kannst. Eine solche Anwendung ist die sogenannte Taylorentwicklung von Funktionen, die du in dieser Aufgabe kennenlernst.

Sei eine Funktion %%f: x\mapsto \sin(x)%%, sowie ein Funktionenschar %%g_{n;0} ~n =0;1;2;\ldots%% mit maximalen Definitionsbereichen gegeben. Außerdem seien die folgenden Funktionen der Schar bekannt:

  • %%g_{0;0}: x \mapsto 0%%
  • %%g_{1;0}: x \mapsto 0+ x \cdot 1%%
  • %%g_{2;0}: x \mapsto 0 + x \cdot 1%%
  • %%g_{3;0}: x \mapsto 0 + x \cdot 1 + \dfrac{x^3 \cdot (-1)}{6}%%

a) Zeige, dass für die gegebenen Scharfunktionen %%\displaystyle g_{n;a}(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-a)^kf^{(k)}(a)}{k!}%% gilt, wobei %%f^{(k)}(a)%% die %%k%%-te Ableitung am Punkt %%a%% ist und %%k!%% die Fakultät von %%k%% angibt.


Die Funktion %%g_{n;a}%% wird auch das %%n%%-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle %%a%% genannt und man schreibt %%g_{n;a}(x)=T_nf(x;a)%%.

b) Gib den Funktionsterm von %%g_{5;0}%% an.

c) In der folgenden Abbildung siehst du die Graphen der Funktionen %%f, g_{5;0}, g_{9;0}%% und %%g_{20;0}%%. Beschreibe die Abbildung und erläutere das Verhalten der Taylorpolynome für %%n \rightarrow \infty%%.

taylor

d) Wie sieht die Taylorentwicklung an der Entwicklungsstelle %%a=0%% für die Funktion %%e: x \mapsto e^x%% aus? Gib den Term des %%n%%-ten Taylorpolynoms an oder beschreibe dessen Aussehen.

e) Gib die Taylorentwicklung der Funktion %%p: x \mapsto x^2%% an der Entwicklungsstelle %%a=0%% konkret an.

Teilaufgabe a)

Setze für die gegebenen Scharfunktionen die Parameter ein und rechne die Summe aus.

%%\displaystyle g_{0;0}=\sum_{k=0}^0 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =\frac{\overbrace{x^0}^{=1}\cdot \overbrace{f(0)}^{=0}}{\underbrace{0!}_{=1}}=0%%

%%\displaystyle g_{1;0}=\sum_{k=0}^1 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =\frac{\overbrace{x^0}^{=1}\cdot \overbrace{f(0)}^{=0}}{\underbrace{0!}_{=1}}+\frac{\overbrace{x^1}^{=x}\cdot \overbrace{f'(0)}^{=\cos(0)=1}}{\underbrace{1!}_{=1}}=0+x%%

%%\displaystyle g_{2;0}=\sum_{k=0}^2 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =0+x+\frac{x^2\cdot \overbrace{f''(0)}^{=-\sin(0)=0}}{\underbrace{2!}_{=2}}=0+x+0%%

%%\displaystyle g_{3;0}=\sum_{k=0}^3 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} =0+x+\frac{x^3\cdot \overbrace{f'''(0)}^{=-\cos(0)=-1}}{\underbrace{3!}_{=3\cdot 2 \cdot 1=6}}=0+x-\frac{x^3}{6}%%

Die Funktionsterme stimmen überein.

Teilaufgabe b)

Für den Funktionsterm von %%g_{5;0}%% benötigst du zusätzlich zu den Term von %%g_{3;0}%% noch die Summanden für %%k=4%% und %%k=5%%. Für die gilt:

%%\begin{array}{ll} k=4: &\dfrac{x^4\cdot \overbrace{f^{(4)}(0)}^{=\sin(0)=0}}{4!}= 0\\ k=5: &\dfrac{x^5\cdot \overbrace{f^{(5)}(0)}^{=\cos(0)=1}}{\underbrace{5!}_{=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120}}= \dfrac{x^5}{120} \end{array}%%

damit erhältst du für den gesuchten Term

%%g_{5;0}(x)= x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}%%

Teilaufgabe c)

Für wachsende %%n%% schmiegen sich die Graphen von %%g_{n;0}%% in einem immer größer werdenden Intervall um die 0 an den GRaph von %%f%% an. Du kannst vermuten, dass für %%n \rightarrow \infty%% die Taylorreihe %%g_{\infty;0}%% mit der Funktion %%f%% identisch ist.

Teilaufgabe d)

Nutze die Formel aus Teilaufgabe a) für die ersten Summanden:

%%\displaystyle T_ne(x;0)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-0)^k f^{(k)}(0)}{k!} =\frac{x^0 \cdot \overbrace{e^0}^{=1}}{0!}+\frac{x^1 \cdot e^0}{1!}+\frac{x^2 \cdot e^0}{2!}+\frac{x^3 \cdot e^0}{3!}+\ldots%%

%%\displaystyle T_ne(x;0)=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}%%

Das %%n%%-te Taylorpolynom ist eine Summe von aufsteigenden %%x%%-Potenzen, jeweils dividiert durch die Fakultät des Exponenten.

Teilaufgabe e)

Nutze wieder die Formel aus Teilaufgabe a):

%%\displaystyle T_np(x;0)=\sum_{k=0}^n \frac{(x-0)^k f^{(k)}(0)}{k!} =\frac{x^0 \cdot 0^2}{0!}+\frac{x^1 \cdot (2\cdot 0)}{1!}+\frac{x^2 \cdot 2}{2!}+\frac{x^3 \cdot 0}{3!}+\frac{x^4 \cdot 0}{4!}+\ldots%%

Da ab %%k=3%% alle %%k%%-ten Ableitungen gleich 0 sind folgen nur noch Nuller als Summanden. Du erhältst als Lösung:

%%\displaystyle T_np(x;0)=\frac{2x^2}{2}=x^2%%

Die Taylorreihe ist also identisch mit der Ausgangsfunktion!

(Volumenberechungen mit Integralen)

In der Schule lernst du das Berechnen von Flächen mittels Integralen kennen. Das Gleiche funktioniert aber auch eine Dimension höher. In Abbildung 1 siehst du einen Quader in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Es gilt für die Koordinaten: %%A=(0|0|0), G=(-2|4|2)%%. Image Title

a) Berechne das Volumen des Quaders mit der Volumenformel.


Betrachte nun in Abbildung 2 die Vorderseite des Quaders. Die Seite %%[EF]%% ist der Graph der auf %%[0;4]%% definierten Funktion %%s: x_2 \mapsto 2%%. Image Title

b) Bestimme die Fläche der Quadervorderseite %%A_V%% durch integrieren.


Nun wird das Bild "gedreht". In Abbildung 3 siehst du eine seitliche Ansicht des Quaders. Image TitleDie Vorsellung bei der Integration ist das schrittweise Ausfüllen der Fläche unter einem Graphen mit Strichen / Balken. Das Gleiche machst du jetzt mit der in die Zeichnung hineingehenden Fläche %%A_V%%, um den Quader "auszufüllen".

c) Bestimme das Volumen %%V_Q%% des Quaders durch Integration mit dem Integranden %%A_V%%.


Ausgehend vom Anfang ist die Volumenformel damit ein doppeltes Integral.

Die Volumenformel für einen Zylinder mit Höhe %%h%% und Grundflächenradius %%r%% lautet %%V_Z=\displaystyle \int_0^h \int_0^r2s\pi\operatorname{d}s\operatorname{d}x%%.

d) Erkläre, warum diese Formel richtig ist. (Hinweis: Überlege dir, wie der Zylinder nach und nach durch Strecken, Kreise, Flächen o. ä. ausgefüllt wird)


Betrachte jetzt die Volumenformel %%\displaystyle V_K= \int_{-r}^r\int_x^r2s\pi\operatorname{d}s\operatorname{d}x%%

e) Das Volumen welchen Körpers %%K%% wird mit dieser Formel berechnet?


f) Zeige, dass %%V_K%% die richtigen Ergebnisse leifert, indem du %%V_K%% für %%r=1%% und %%r=2%% berechnest und mit dem Ergebnis der Volumenformel aus der Geometrie vergleichst.

a)

Die Volumenformel lautet "Länge mal Breite mal Höhe". Hier

$$V_{Quader} =\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\overline{AE}=4\cdot 2\cdot 2=16$$

b)

$$A_V=\int_0^4 2 \operatorname{d}x_2 =\left[2x_2\right]_0^4=8$$

c)

$$V_Q=\left|\int_0^{-2} A_V \operatorname{d}x_1\right|=\left|\int_0^{-2} 8 \operatorname{d}x_1\right| =\left|\left[8x_1\right]_0^{-2}\right|=16$$

d)

Schritt 1: Der innere Teil %%2s\pi%% ist die Formel für den Umfang eines Kreises mit Radius %%\pi%%. Bei der Integration über den Radius %%s%% zeichnest du dann anschaulich für alle Radien %%0\leq s \leq r%% einen Kreis. Mit diesen Kreisen füllst du nach und nach die komplette Fläche des Kreises mit Radius %%r%% aus. Das innere Integral %%\int_0^r 2s\pi \operatorname{d}s%% gibt dir damit den Flächeninhalt der Zylindergrundfläche.

Schritt 2: Die erhaltene Kreisfläche legst du dann so oft übereinander, bis der ganze Zylinder ausgefüllt ist. Das entspricht dem Integral von %%0%% bis %%h%% über die Kreisfläche. Du erhältst das Zylindervolumen.

e)

$$V_K=\int_{-r}^r\int_x^r 2s\pi \operatorname{d}s \operatorname{d}x =\int_{-r}^r r^2\pi-x^2\pi \operatorname{d}x =\left[ r^2x\pi-\frac{1}{3}x^3\pi \right]_{-r}^r= r^3\pi-\frac{1}{3}r^3\pi-\left(-r^3\pi+\frac{1}{3}r^3\pi \right) =2r^3\pi-\frac{2}{3}r^3\pi=\frac{4}{3}r^3\pi$$

%%\Rightarrow%% Die Formel berechnet das Volumen einer Kugel.

Bemerkung: Sich das Ausfüllen der Kugel vorzustellen ist schwieriger, da nicht die normale Kugel ausgefüllt wird, sondern eine zwei Halbkugeln, die sich an im Ursprung an den Polen berühren und dann nach oben bzw. unten offen sind.

f)

$$V_{K;r=1}=\int_{-1}^1\int_x^1 2s\pi \operatorname{d}s \operatorname{d}x =\int_{-1}^1\pi-x^2\pi\operatorname{d}x=\left[\pi x-\frac{1}{3}x^3\pi\right]_{-1}^1=\pi-\frac{1}{3}\pi+\pi-\frac{1}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi$$

$$V_{K;r=2}=\int_{-2}^2\int_x^2 2s\pi \operatorname{d}s \operatorname{d}x =\int_{-2}^24\pi-x^2\pi\operatorname{d}x=\left[4\pi x-\frac{1}{3}x^3\pi\right]_{-2}^2=8\pi-\frac{8}{3}\pi+8\pi-\frac{8}{3}\pi=\frac{32}{3}\pi =\frac{4}{3}\cdot2^3\pi$$

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