Seien %%M, N%% Mengen. Dann ist jede Teilmenge %%R%% von %%M\times N%% eine Relation.

%%M\times N%% ist das kartesische Produkt zweier Mengen. Dabei besteht %%R%% aus einer Menge geordneter Paare %%(x,y)%%, wobei %%x\in M \; \mathrm{und} \; y\in N%% ist. Eine Teilmenge von %%A\times A%% wird Relation auf A genannt.

                           

Weiter werden nun einige wichtige Klassen von Relationen aufgeführt.

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelationen verallgemeinern die Gleichheit.

Eine Äquivalenzrelation ist eine Teilmenge %%R \subset M\times M%% die folgende Bedingungen erfüllt:

Bezeichnung

Definition

Erklärung

Reflexivität

Für alle %%a\in M\;\mathrm{ist}\;(a,a)\in R%%

Alle Elemente von %%M%% sind zu sich selbst äquivalent.

Symmetrie

Für alle %%a,b\in M%% für die %%(a,b)\in R%% ist auch %%(b,a)\in R%%

Wenn %%a%% zu %%b%% äquivalent ist, dann ist auch %%b%% zu %%a%% äquivalent.

Transitivität

Für alle %%a,b,c\in M%% mit %%(a,b)\in R%% und %%(b,c)\in R%% ist auch %%(a,c)\in R%%

Wenn %%a%% zu %%b%% äquivalent und %%b%% zu %%c%% äquivalent ist, dann ist %%a%% äquivalent zu %%c%%.

Beispiel: Kinder in einer Schulklasse

Sei %%G%% die Menge aller Schüler/innen in der Schule, dann kann %%M%% als Menge aller Schüler/innen in einer Klasse definiert werden.

Überprüfe die Bedingungen:

  • Reflexivität: erfüllt, da ein Schüler genau in einer Klasse ist
  • Symmetrie: wahr, da wenn Elena in der gleichen Klasse wie Felix ist, auch Felix in der gleichen Klasse wie Elena ist.
  • Transitivität: wahr. Sind Elena und Felix in der gleichen Klasse, und sind Felix und Anna auch in einer Klasse, dann sind auch Elena und Anna in einer Klasse.

Partielle Ordung (Halbordnung)

Eine Ordnugsrelation ist eine Verallgemeinerung von "kleiner gleich"-Beziehungen. Eine partielle Ordnung ist eine Teilmenge %%R\subset M\times M%%, die folgende Bedingungen erfüllt:

Reflexivität

Für alle %%a\in M\;\mathrm{ist}\;(a,a)\in R%%

Alle Elemente von %%M%% sind zu sich selbst äquivalent.

Antisymmetrie

Für alle %%(a,b)\in R%% gilt entweder %%(b,a)\notin R%% oder %%a=b%%

Wenn %%a%% zu %%b%% äquivalent ist, dann ist %%b%% nicht äquivalent zu %%a%% oder %%a = b%%.

Transitivität

Für alle %%a,b,c\in M%% mit %%(a,b)\in R%% und %%(b,c)\in R%%, ist auch %%(a,c)\in R%%

Wenn %%a%% zu %%b%% äquivalent und %%b%% zu %%c%% äquivalent ist, dann ist %%a%% äquivalent zu %%c%%.

Antisymmetrie kann man auch wie folgt verstehen:

Gelten %%(a,b)\in R%% und %%(b,a)\in R%%, so ist %%a=b%%.

Beispiel:

Sei %%M%% Menge, sei %%R%% eine Relation, bei der %%(A,B)\in R%% genau dann wenn %%A\subseteq B%%, also wenn %%A%% eine Teilmenge von %%B%% ist . Dann ist dies eine Partielle Ordnung, da die nötigen Bedingungen erfüllt sind.

Reflexivität:  Sei %%A\subseteq M%% dann ist %%A\subseteq A%%, also ist Bedingung erfüllt.

Antisymmetrie: Seien %%B\subseteq M%% und %%A\subseteq B%% , dann gilt %%B\subseteq A%% genau dann wenn %%A=B%%.

Transitivität: Seien %%A,B,C\subseteq M%% und sei %%A\subseteq B%% und %%B\subseteq C%%, dann ist auch %%A\subseteq C%%.

Also ist diese Relation eine Partielle Ordnung (auf der Potenzmenge von %%M%%).

Funktion

Per Definition ist eine Funktion eine Relation %%R \subset M\times N%% bei der es zu %%\mathrm{jedem} \;x\in M\; \mathrm{genau \; ein} \;y\in N%% gibt.

Beispiel:

%%M=\{1,2,3\},\ N=\{1,2\}%% , %%R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(3,1)\}%% , %%f=\{(1,2),(2,2),(3,1)\}%%, und %%g=\{(1,2),(2,1)\}%%, %%h=\{(1,2),(1,3)\}%%.

Für %%M\times N=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}%%. Dann ist %%R, f,g%% eine Teilmenge von %%M\times N%% und somit eine Relation auf %%M\times N%%.

  • %%R%% ist keine Funktion, weil %%(1,1)\in R%% und %%(1,2)\in R%%. Also wird die %%1%% auf die %%1%% und %%2%% abgebildet.

  • %%f%% ist eine Funktion, da die Eigenschaft %%\mathrm{jedem} \;x\in M\; \mathrm{genau \; ein} \;y\in N%% erfüllt ist.

  • %%g%% ist keine Funktion, da die %%3%% nicht abgebildet wird.

  • %%h%% ist keine Teilmenge von %%M\times N%% also keine Relation und somit auch keine Abbildung auf %%M\times N%%.

Folgende Beispielaufgaben beschäftigen sich damit, ob eine Relation eine Funktion ist:

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Zu article Relationen:
Kowalsky 2018-04-15 15:34:58
Zum Absatz Funktion: Die hier angegebene Menge h ist eine Teilmenge von MxN. Soll h aber keine Teilmenge von MxN sein, dann muss die Menge h geändert werden z.B. in: h ={(1,2),(1,3)}
Nish 2018-04-15 17:45:09
Bin deiner Meinung und werde es noch korrigiert! Danke für deinen Hinweis!

LG und noch ein schönes Wochenende,
Nish
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Zu article Relationen:
Renate 2018-04-14 19:36:34
FEHLER ODER FEHLERHAFTE FORMULIERUNG IM BEISPIEL

Das Beispiel "Kinder in einer Schulklasse" ist meinem Eindruck nach nicht korrekt ausgearbeitet:

%%G%% = "Menge aller Schüler/innen der Schule" ist kein kartesisches Produkt,
und %%M%% = "Menge aller Schüler/innen einer Schulklasse" ist daher keine Teilmenge eines kartesischen Produkts, folglich auch keine Relation.

Gemeint ist wohl:
%%M%% soll diejenige Teilmenge von %%G \times G%% sein, für die gilt:
%%(a,b) \in M \Leftrightarrow a \text{ ist in derselben Klasse wie } b%%

Was meint ihr?

Gruß
Renate
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