Seien M,NM, N Mengen. Dann ist jede Teilmenge RR von M×NM\times N eine Relation.
M×NM\times N ist das kartesische Produkt zweier Mengen. Dabei besteht RR aus einer Menge geordneter Paare (x,y)(x,y), wobei xM  und  yNx\in M \; \mathrm{und} \; y\in N ist. Eine Teilmenge von A×AA\times A wird Relation auf A genannt.
                           
Weiter werden nun einige wichtige Klassen von Relationen aufgeführt.

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelationen verallgemeinern die Gleichheit.
Eine Äquivalenzrelation ist eine Teilmenge RM×MR \subset M\times M die folgende Bedingungen erfüllt:
Bezeichnung
Definition
Erklärung
Reflexivität
Für alle aM  ist  (a,a)Ra\in M\;\mathrm{ist}\;(a,a)\in R
Alle Elemente von MM sind zu sich selbst äquivalent.
Symmetrie
Für alle a,bMa,b\in M für die (a,b)R(a,b)\in R ist auch (b,a)R(b,a)\in R
Wenn aa zu bb äquivalent ist, dann ist auch bb zu aa äquivalent.
Transitivität
Für alle a,b,cMa,b,c\in M mit (a,b)R(a,b)\in R und (b,c)R(b,c)\in R ist auch (a,c)R(a,c)\in R
Wenn aa zu bb äquivalent und bb zu cc äquivalent ist, dann ist aa äquivalent zu cc.

Beispiel: Kinder in einer Schulklasse

Sei GG die Menge aller Schüler/innen in der Schule, dann kann MM als Menge aller Schüler/innen in einer Klasse definiert werden.
Überprüfe die Bedingungen:
  • Reflexivität: erfüllt, da ein Schüler genau in einer Klasse ist
  • Symmetrie: wahr, da wenn Elena in der gleichen Klasse wie Felix ist, auch Felix in der gleichen Klasse wie Elena ist.
  • Transitivität: wahr. Sind Elena und Felix in der gleichen Klasse, und sind Felix und Anna auch in einer Klasse, dann sind auch Elena und Anna in einer Klasse.

Partielle Ordnung (Halbordnung)

Eine Ordnungsrelation ist eine Verallgemeinerung von "kleiner gleich"-Beziehungen. Eine partielle Ordnung ist eine Teilmenge RM×MR\subset M\times M, die folgende Bedingungen erfüllt:
Reflexivität
Für alle aM  ist  (a,a)Ra\in M\;\mathrm{ist}\;(a,a)\in R
Alle Elemente von MM sind zu sich selbst äquivalent.
Antisymmetrie
Für alle (a,b)R(a,b)\in R gilt entweder (b,a)R(b,a)\notin R oder a=ba=b
Wenn aa zu bb äquivalent ist, dann ist bb nicht äquivalent zu aa oder a=ba = b.
Transitivität
Für alle a,b,cMa,b,c\in M mit (a,b)R(a,b)\in R und (b,c)R(b,c)\in R, ist auch (a,c)R(a,c)\in R
Wenn aa zu bb äquivalent und bb zu cc äquivalent ist, dann ist aa äquivalent zu cc.
Antisymmetrie kann man auch wie folgt verstehen:
Gelten (a,b)R(a,b)\in R und (b,a)R(b,a)\in R, so ist a=ba=b.

Beispiel:

Sei MM Menge, sei RR eine Relation, bei der (A,B)R(A,B)\in R genau dann wenn ABA\subseteq B, also wenn AA eine Teilmenge von BB ist . Dann ist dies eine Partielle Ordnung, da die nötigen Bedingungen erfüllt sind.
Reflexivität:  Sei AMA\subseteq M dann ist AAA\subseteq A, also ist Bedingung erfüllt.
Antisymmetrie: Seien BMB\subseteq M und ABA\subseteq B , dann gilt BAB\subseteq A genau dann wenn A=BA=B.
Transitivität: Seien A,B,CMA,B,C\subseteq M und sei ABA\subseteq B und BCB\subseteq C, dann ist auch ACA\subseteq C.
Also ist diese Relation eine Partielle Ordnung (auf der Potenzmenge von MM).

Funktion

Per Definition ist eine Funktion eine Relation RM×NR \subset M\times N bei der es zu jedem  xM  genau  ein  yN\mathrm{jedem} \;x\in M\; \mathrm{genau \; ein} \;y\in N gibt.
Beispiel:
M={1,2,3}, N={1,2}M=\{1,2,3\},\ N=\{1,2\} , R={(1,1),(1,2),(2,1),(3,1)}R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(3,1)\} , f={(1,2),(2,2),(3,1)}f=\{(1,2),(2,2),(3,1)\}, und g={(1,2),(2,1)}g=\{(1,2),(2,1)\}, h={(1,2),(1,3)}h=\{(1,2),(1,3)\}.
Für M×N={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}M\times N=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}. Dann ist R,f,gR, f,g eine Teilmenge von M×NM\times N und somit eine Relation auf M×NM\times N.
  • RR ist keine Funktion, weil (1,1)R(1,1)\in R und (1,2)R(1,2)\in R. Also wird die 11 auf die 11 und 22 abgebildet.
  • ff ist eine Funktion, da die Eigenschaft jedem  xM  genau  ein  yN\mathrm{jedem} \;x\in M\; \mathrm{genau \; ein} \;y\in N erfüllt ist.
  • gg ist keine Funktion, da die 33 nicht abgebildet wird.
  • hh ist keine Teilmenge von M×NM\times N also keine Relation und somit auch keine Abbildung auf M×NM\times N.
Folgende Beispielaufgaben beschäftigen sich damit, ob eine Relation eine Funktion ist:
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Zu article Relationen:
Kowalsky 2018-04-15 15:34:58+0200
Zum Absatz Funktion: Die hier angegebene Menge h ist eine Teilmenge von MxN. Soll h aber keine Teilmenge von MxN sein, dann muss die Menge h geändert werden z.B. in: h ={(1,2),(1,3)}
Nish 2018-04-15 17:45:09+0200
Bin deiner Meinung und werde es noch korrigiert! Danke für deinen Hinweis!

LG und noch ein schönes Wochenende,
Nish
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Zu article Relationen:
Renate 2018-04-14 19:36:34+0200
FEHLER ODER FEHLERHAFTE FORMULIERUNG IM BEISPIEL

Das Beispiel "Kinder in einer Schulklasse" ist meinem Eindruck nach nicht korrekt ausgearbeitet:

%%G%% = "Menge aller Schüler/innen der Schule" ist kein kartesisches Produkt,
und %%M%% = "Menge aller Schüler/innen einer Schulklasse" ist daher keine Teilmenge eines kartesischen Produkts, folglich auch keine Relation.

Gemeint ist wohl:
%%M%% soll diejenige Teilmenge von %%G \times G%% sein, für die gilt:
%%(a,b) \in M \Leftrightarrow a \text{ ist in derselben Klasse wie } b%%

Was meint ihr?

Gruß
Renate
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