Regeln - Symmetrie

Symmetrie zum Koordinatensystem vorhanden

Achsensymmetrie zur %%y%%-Achse

Jede ganzrationale Funktion, bei der die Variable

  • nur in Potenzen mit geradem Exponenten vorkommt,

ist achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse.

Beispiele
  • %%f(x)= x^4-x^2%%
  • %%g(x)= -13x^8 + x^6 - 0,5\cdot x^2 +10%%
  • %%h(x)= 0,4x^6%%
  • %%c(x)= 26%%

(Eine konstante Zahl %%k%% (ohne %%x%% dazu) kann man sich vorstellen als %%k\cdot x^0%%.)

Graph von x hoch 4 minus x^2 Beispiel für einen Graphen, der achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse ist.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Jede ganzrationale Funktion, bei der die Variable

  • nur in Potenzen mit ungeradem Exponenten vorkommt,

ist punktsymmetrisch zum Ursprung %%(0|0)%%.

Beispiele
  • %%f(x)= -0,1x^{9}+x^5-2x%%
  • %%g(x)=0,8x^7-x^5+27x^3%%
  • %%h(x)=x%%

Graph mit punktsymmetrischer Funktion

Beispiel für einen Graphen, der punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Symmetrie zum Koordinatensystem nicht vorhanden

Wenn in einer ganzrationalen Funktion die Variable

  • als Potenz mit geradem Exponenten

und außerdem auch

  • als Potenz mit ungeradem Exponenten vorkommt,

ist der Graph weder achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Beispiele
  • %%f(x)=x^4 +0,5x^3 -2x^2%%
  • %%g(x)= 12x^4-x^3+37x^2%%
  • %%p(x)=-2x^2+4x+10% %%
  • %%h(x)= 0,5x+2%%

(Beachte wieder, dass eine konstante Zahl wie die 2 am Ende des Terms von %%h%% als gerade Potenzfunktion von %%x%% rechnet.)

Graph einer asymmetrischen Funktion Beispiel für einen Graphen, der keine Symmetrie zum Koordinatensystem aufweist

Ob es Achsensymmetrie zu einer anderen Achse als der %%y%%-Achse oder Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt als dem Ursprung gibt, ist eine andere Frage, die schwieriger zu beantworten ist und hier nicht behandelt werden soll.

Beispiel
  • %%p(x)=-2x^2+4x+10% %% ist weder achsensymmetrisch zur %%y%%-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung;
    aber da der Graph von %%p%% eine Parabel ist, ist er sicherlich symmetrisch zu einer Achse, die durch seinen Scheitel geht.
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