Kurs

Graphen ganzrationaler Funktionen

1 Übersicht

Ziel dieses Kurses ist es, den Begriff der ganzrationalen Funktion einzuführen und den charakteristischen Verlauf des Graphen zu erarbeiten.

Inhalte

Begriffsklärung Polynomfunktion
Verhalten des Graphen im Unendlichen
Symmetrieverhalten von Polynomfunktionen

Vorwissen

Potenzfunktionen
Graphen von Potenzfunktionen

2 Begriffsklärungen (1|2)

Funktion - Potenzfunktion - ganzrationale Funktion

Funktionen

Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem $x$ aus einer Menge $X$ genau ein $y$ aus einer Menge $Y$ zugeordnet wird.

In der Mathematik geschieht dies in der Regel dadurch, dass ein Funktionsterm angegeben ist.

Potenzfunktionen

Wenn der Funktionsterm die Form $f (x) = a \cdot x^{n}$ hat, nennt man $f$ eine Potenzfunktion.

Schild mit der Aufschrift Potenzfunktion

Graph zu $f (x) = - x^{3}$

Graph zu $f (x) = 2 x^{4}$

Graph zu $f (x) = 0,2 x^{5}$

Ganzrationale Funktionen

Wenn man eine oder mehrere Potenzfunktionen zusammenaddiert, erhält man eine Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion.

Schildmit der Aufschrift ganzrationale Funktion

So sieht beispielsweise der Graph der Funktion $f$ aus, wenn

f (x) = x^{6} - x^{5} - 2 x^{4} + x^{3} + x + 2

ist. $f$ ist eine ganzrationale Funktion, da sie aus mehreren Potenzfunktionen zusammengesetzt ist.

3 Begriffsklärungen (2|2)

Mathematische Beschreibung einer ganzrationalen Funktion

Eine ganzrationale Funktion ist definiert als eine Funktion, die sich in folgender Form schreiben lässt:

$f (x) = a_{n} \cdot x^{n} + a_{n - 1} \cdot x^{n - 1} + \dots + a_{2} \cdot x^{2} + a_{1} \cdot x + a_{0}$ .

Dabei ist $x$ die Variable, die $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{2}, a_{1}, a_{0}$ sind reelle Zahlen, und $n$ ist eine natürliche Zahl.

Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynomfunktionen bezeichnet.

Noch ein paar Begriffe

Exponenten:

Die in der Definition der ganzrationalen Funktion vorkommenden hochgestellten Zahlen $n, n - 1, \dots$ sind Exponenten; so bezeichnet man nämlich allgemein bei einer Potenz die hochgestellte Zahl.

Koeffizienten:

Die Zahlen $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{2}, a_{1}, a_{0}$ nennt man Koeffizienten. (Die tief gestellten $n, n - 1, \dots, 0$ sind hier nur da, damit man die Koeffizienten auseinanderhalten kann.)

Grad einer ganzrationalen Funktion

Der größte vorkommende Exponent gibt den Grad der Polynomfunktion an.

Beispiel

Die Funktion $f (x) = - 2 x^{3} - \frac{1}{2} x + 4$ hat den Grad $3$ .

4 Beispiele und Nicht-Beispiele

Hier findest du noch ein paar Beispiele und Nicht-Beispiele zu Polynomfunktionen.

$f (x) = - x^{2} - 5 x + 1$ ist eine Polynomfunktion. Allgemein sind alle quadratischen Funktionen Polynomfunktionen.
$f (x) = \sqrt{2} \cdot x^{2} - π \cdot x^{7}$ ist eine Polynomfunktion.
$f (x) = \sqrt{x - 1}$ und $f (x) = x + \frac{1}{x}$ sind keine Polynomfunktionen, da ein $x$ unter der Wurzel steht bzw. negative Exponenten vorkommen.
$f (x) = 2 x + 3$ ist eine Polynomfunktion. Allgemein sind alle linearen Funktionen Polynomfunktionen.
$f (x) = x + 2^{x}$ ist keine Polynomfunktion, da die Variable im Exponenten vorkommt.
$f (x) = - 2,3$ ist eine Polynomfunktion. Allgemein sind alle konstanten Funktionen Polynomfunktionen.
$f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x^{3} + 3}$ ist keine Polynomfunktion, da die Variable $x$ im Nenner vorkommt. Dies nennt man auch eine gebrochenrationale Funktion.
$f (x) = (x - 1) (x^{2} + 1)$ ist eine Polynomfunktion, da der Funktionsterm durch Ausmultiplizieren zu $f (x) = x^{3} - x^{2} + x - 1$ umgeformt werden kann und somit Polynomform hat.

Normalerweise schreibt man eine Polynomfunktion so auf, dass die Potenzen vom größten bis zum niedrigsten Exponent geordnet sind.

Also nicht $f (x) = 2 x^{2} + 1 - x^{7}$ , sondern $f (x) = - x^{7} + 2 x^{2} + 1$ .

5 Charakteristischer Verlauf des Graphen

Die Problemstellung

Bei Potenzfunktionen der Form $f (x) = a \cdot x^{n}$ kann man das ungefähre Aussehen des Graphen nach einigen Regeln aus dem Funktionsterm "vorhersagen".

Ganzrationale Funktionen (bzw. Polynomfunktionen) sind als Summe solcher Potenzfunktionen darstellbar - so sind sie ja definiert.

Gibt es auch für ganzrationale Funktionen Regeln, nach denen man das Aussehen des Graphen vorhersagen kann?

Schwer vorstellbar, dass sich hier "einfache" Regeln finden lassen….

Trotzdem: Ein paar Aussagen anhand des Terms wird man machen können.

Im Folgenden wollen wir anhand von drei "Forschungsbeispielen" versuchen, solche Regeln herauszufinden, und diese Regeln anschließend zu formulieren.

6 Erstes Forschungsbeispiel (1|2)

Einigkeit macht stark! - Beispiel 1: $f (x) = x^{4} + x^{2}$

Um eine Vorstellung vom Graphen von $f$ zu bekommen (ohne eigens eine Wertetabelle anzulegen und ihn zu zeichnen), zerlegen wir $f$ am besten zunächst in die beiden Potenzfunktionen, aus denen er zusammengesetzt ist:

Die Funktion $q$ sei gegeben durch:

$q (x) = x^{4}$

Die Funktion $p$ sei gegeben durch:

$p (x) = x^{2}$

Mit diesen Festlegungen ist dann natürlich $f = q + p$ .

$q$ und $p$ sind Potenzfunktionen; das Verhalten ihrer Graphen kann man aus ihren Funktionstermen bereits vorhersagen, oder du liest es jetzt an den obigen Graphen ab:

Der Graph von $q$ ist

achsensymmetrisch zur $y$ -Achse und
auf beiden Seiten nach $+ \infty$ gerichtet.

Der Graph von $p$ ist

achsensymmetrisch zur $y$ -Achse und
auf beiden Seiten nach $+ \infty$ gerichtet.

Und was vermutest du nun für den Graphen von $f$ ?

Denke nach, und gehe dann zur nächsten Seite dieses Kurses …

7 Erstes Forschungsbeispiel (2|2)

Richtig; das war nicht schwer:

Auch der Graph von $f$ ist

achsensymmetrisch zur $y$ -Achse und
auf beiden Seiten nach $+ \infty$ gerichtet.

Hier siehst du eine Graphik, in der alle drei Graphen eingezeichnet sind.

Kannst du vielleicht noch weitere Beobachtungen machen, die von Bedeutung sein könnten?

Welchem der beiden ursprünglichen Graphen ähnelt der Graph von $f$ mehr, dem von $p$ oder dem von $q$ ? Was meinst du?

Nimm dir ein Blatt Papier und notiere alles, was dir wichtig erscheint - vielleicht lassen sich ja später allgemeine Regeln daraus ableiten!

8 Zweites Forschungsbeispiel (1|2)

Wer setzt sich durch? - Beispiel 2: $f (x) = x^{4} - x^{2}$

Auch diese Funktion zerlegen wir zunächst in zwei Potenzfunktionen $q$ und $p$ , aus denen sie zusammengesetzt ist:

Die Funktion $q$ sei gegeben durch:

q (x) = x^{4}

Die Funktion $p$ sei gegeben durch:

p (x) = - x^{2}

Mit diesen Festlegungen ist dann auch diesmal $f = q + p$ (und nicht $q - p$ ).

Aber diesmal unterscheidet sich das Verhalten von $q$ und von $p$ für sehr große bzw. sehr kleine $x$ -Werte.

Wie wird sich der Graph von $f$ verhalten?

Was vermutest du?

Wird sich $p$ durchsetzen, und $f$ auf beiden Seiten gegen $- \infty$ gehen?
Oder wird $q$ stärker sein, und $f$ ist auf beiden Seiten nach $+ \infty$ gerichtet?
Oder heben sich $+ \infty$ und $- \infty$ auf, und $f$ pendelt sich irgendwie auf $0$ ein?
Oder sonst irgendetwas anderes?

Denke nach, probiere es, wenn du dir unsicher bist, aus und zeichne den Graphen - mit einer Wertetabelle oder mit einem Funktionsplotter

und schaue erst dann auf die nächste Kursseite!

9 Zweites Forschungsbeispiel (2|2)

Okay, dass der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse sein würde, das war zu erwarten; denn schließlich sind das ja auch die Graphen von $q$ und $p$ .

Und im Unendlichen hat sich offenbar $q$ gegen $p$ durchgesetzt - jedenfalls geht der Graph auf beiden Seiten gegen $+ \infty$ .

Graph mit Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse

Hier siehst du eine Graphik, in der zusätzlich zum Graphen von $f$ auch die Graphen von $q$ und $p$ eingetragen sind.

Man erkennt:

Für betragsmäßig kleine $x$ -Werte (das heißt: $x$ -Werte in der Nähe der $0$ ) sieht der Graph von $f$ eher so aus wie der von $p$ ,

während

für betragsmäßig große $x$ -Werte der Einfluss von $q$ stärker ist.

Graph mit drei Funktionen achsensymmetrisch zur y-Achse

10 Drittes Forschungsbeispiel (1|2)

Noch mehr verschiedene Einflüsse - Beispiel 3: $f (x) = x^{4} + 0,5 x^{3} - 2 x^{2}$

Auch diese Funktion zerlegen wir zunächst in die drei Bestandteile, aus denen sie offenkundig besteht:

$q (x) = x^{4}$	$s (x) = 0,5 x^{3}$	$p (x) = - 2 x^{2}$

Der Graph von $q$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse und auf beiden Seiten nach $+ \infty$ gerichtet.	Der Graph von $s$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung $(0 \| 0)$ und auf der linken Seite nach $- \infty$ gerichtet auf der rechten Seite nach $+ \infty$ gerichtet.	Der Graph von $p$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse und auf beiden Seiten nach $- \infty$ gerichtet.

Und nun?

Wie wird sich der Graph von $f$ verhalten?

Was vermutest du?

Denke nach, notiere deine Überlegungen, und wenn du möchtest, probiere es einfach aus - indem du den Graphen mithilfe einer Wertetabelle oder mit einem Funktionsplotter zeichnest.

Auf der nächsten Kursseite findest du wieder die Auflösung.

11 Drittes Forschungsbeispiel (2|2)

Der Graph von $f$ (siehe nebenstehendes Bild) ist

weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung
auf beiden Seiten nach $+ \infty$ gerichtet.

Graph einer asymmetrischen Funktion — *Graph der Funktion* $f$

Nun ja, Achsensymmetrie zur $y$ -Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung kann man wohl nicht erwarten, wenn verschieden-symmetrische Funktionen miteinander kombiniert werden.

Und im Unendlichen hat sich anscheinend wieder $q$ durchgesetzt?

Hier in dieser Graphik sind zusätzlich zum Graphen von $f$ auch die Graphen von $q$ , $s$ und $p$ eingetragen.

Man erkennt:

Für $x$ -Werte in der Nähe der $0$ verläuft der Graph von $f$ am ehesten so wie der von $p$ .
Für betragsmäßig große $x$ -Werte ist der Graph so gerichtet, wie es dem Graphen von $q$ entspricht.
Dazwischen spielt anscheinend der Einfluss von $s$ eine deutliche Rolle.

vier Graphen von verschiedenen Funktionen

12 Regeln - Verhalten im Unendlichen

Wie du vielleicht erkennen kannst, gibt es doch ein paar Regeln, nach denen man das Verhalten des Graphen einer Polynomfunktion vorhersagen kann.

Dazu betrachten wir abschließend alle drei Forschungsbeispiele und versuchen dabei herauszufinden, wie der Verlauf der Polynomfunktion $f$ von seinen Bestandteilen $(q, p$ (und $s$ ) $)$ abhängt.

$f (x) = x^{4} + x^{2}$

$q (x) = x^{4}$

$p (x) = x^{2}$

$f (x) = x^{4} - x^{2}$

$q (x) = x^{4}$

$p (x) = - x^{2}$

$f (x) = x^{4} + 0,5 x^{3} - 2 x^{2}$

$q (x) = x^{4}$

$s (x) = 0,5 x^{3}$

$p (x) = - 2 x^{2}$

In allen drei Fällen nähert sich der Graph $f$ dem Graphen von $x^{4}$ für betragsmäßig große (also sehr große und sehr kleine) $x$ -Werte. Bei unseren Forschungsbeispielen war $x^{4}$ die Potenz mit dem höchsten Exponenten.

Allgemein gilt:

Für betragsmäßig große $x$ -Werte (also im Unendlichen) wird das Verhalten einer Polynomfunktion durch den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt.

Wie bei Potenzfunktionen gibt es nur vier Möglichkeiten für den charakteristischen Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion.

13 Regeln - Symmetrie

Symmetrie zum Koordinatensystem vorhanden

Achsensymmetrie zur $y$ -Achse

Jede ganzrationale Funktion, bei der die Variable

nur in Potenzen mit geradem Exponenten vorkommt,

ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse.

Graph von x hoch 4 minus x^2 — *Beispiel für einen Graphen, der achsensymmetrisch zur* $y$ *-Achse ist.*

Punktsymmetrie zum Ursprung

Jede ganzrationale Funktion, bei der die Variable

nur in Potenzen mit ungeradem Exponenten vorkommt,

ist punktsymmetrisch zum Ursprung $(0 | 0)$ .

Symmetrie zum Koordinatensystem nicht vorhanden

Wenn in einer ganzrationalen Funktion die Variable

als Potenz mit geradem Exponenten

und außerdem auch

als Potenz mit ungeradem Exponenten vorkommt,

ist der Graph weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ob es Achsensymmetrie zu einer anderen Achse als der $y$ -Achse oder Punktsymmetrie zu einem anderen Punkt als dem Ursprung gibt, ist eine andere Frage, die schwieriger zu beantworten ist und hier nicht behandelt werden soll.

14 Aufgaben zum Verlauf des Graphen

Aufgabe 1

Laden

Aufgabe 2

Laden

Aufgabe 3

Laden

15 Zusammenfassung

Symmetrie

Wenn im Funktionsterm der ganzrationalen Funktion

nur gerade Potenzen der Variablen vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse,
nur ungerade Potenzen der Variablen vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung,
gerade und ungerade Potenzen der Variablen vorkommen, hat der Graph keine Symmetrie zum Koordinatensystem.

Verhalten im Unendlichen

Im Unendlichen verhält sich der Graph in etwa so wie die Potenzfunktion im Funktionsterm, die den höchsten Exponenten hat.

Sonstiger Verlauf des Graphen

In der Nähe von $0$ verhält sich der Graph in etwa so wie die Potenzfunktion im Funktionsterm, die den niedrigsten Exponenten hat.
Der übrige Verlauf des Graphen wird von allen im Funktionsterm vorkommenden Termen beeinflusst; um Genaueres über ihn herauszufinden, sind zusätzliche Untersuchungen der Funktion notwendig.

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1 Übersicht

2 Begriffsklärungen (1|2)

Funktion - Potenzfunktion - ganzrationale Funktion

Funktionen

Potenzfunktionen

Ganzrationale Funktionen

3 Begriffsklärungen (2|2)

Mathematische Beschreibung einer ganzrationalen Funktion

Noch ein paar Begriffe

Exponenten:

Koeffizienten:

Grad einer ganzrationalen Funktion

Beispiel

4 Beispiele und Nicht-Beispiele

5 Charakteristischer Verlauf des Graphen

Die Problemstellung

6 Erstes Forschungsbeispiel (1|2)

Einigkeit macht stark! - Beispiel 1: f(x)=x4+x2

7 Erstes Forschungsbeispiel (2|2)

8 Zweites Forschungsbeispiel (1|2)

Wer setzt sich durch? - Beispiel 2: f(x)=x4−x2

9 Zweites Forschungsbeispiel (2|2)

10 Drittes Forschungsbeispiel (1|2)

Noch mehr verschiedene Einflüsse - Beispiel 3: f(x)=x4+0,5x3−2x2

11 Drittes Forschungsbeispiel (2|2)

12 Regeln - Verhalten im Unendlichen

13 Regeln - Symmetrie

Symmetrie zum Koordinatensystem vorhanden

Achsensymmetrie zur y-Achse

Punktsymmetrie zum Ursprung

Symmetrie zum Koordinatensystem nicht vorhanden

14 Aufgaben zum Verlauf des Graphen

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

15 Zusammenfassung

Symmetrie

Verhalten im Unendlichen

Sonstiger Verlauf des Graphen

Feedback

Einigkeit macht stark! - Beispiel 1: $f (x) = x^{4} + x^{2}$

Wer setzt sich durch? - Beispiel 2: $f (x) = x^{4} - x^{2}$

Noch mehr verschiedene Einflüsse - Beispiel 3: $f (x) = x^{4} + 0,5 x^{3} - 2 x^{2}$

Achsensymmetrie zur $y$ -Achse