Gegeben sind zwei Geraden, die nicht windschief sind, sondern sich schneiden oder parrallel zu einander sind, und aus diesen soll die dazu gehörige Ebenengleichung bestimmt und die Ebene in einem Koordinatensystem konstruiert werden.

   

%%\; v:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix} g\\ h\\ i\end{pmatrix}+ w\cdot\begin{pmatrix} k\\ l\\ m\end{pmatrix}\;\; \text{und}\;\;\; t:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix} d\\ e\\ f\end{pmatrix}%%   %%\;\;\rightarrow E: \overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\cdot \overrightarrow{{AB}}+\mu\cdot\overrightarrow{{AC}}%%

Gleichung

Ganz schnell lässt sich aus den Geradengleichungen die Ebenengleichung bilden. Man wählt sich den Schnittpunkt der beiden Geraden als Stützvektor und fügt beide Richtungsvektoren der Gleichungen als Spannvektoren hinzu und erhält die Paramerterform der Ebene.

  

%%v:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+ w\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}%% %%t:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}%%

Wir berechnen den Schnittpunkt der beiden Geraden.

%%\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + w \cdot \begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}%%

%%w \cdot \begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}%%

%%\begin{cases}2w=1+s &|:2 \rightarrow w = 0,5 + 0,5s \\3w=2+2s\\4w=3+3s\end{cases}%% %%3(0,5+0,5s) = 2 + 2s%% %%1,5 + 1,5s = 2 + 2s%% %%-0,5 = 0,5s \rightarrow s = -1%% %%\rightarrow w = 0%%

%%\Rightarrow \text{SP}~(1~/~2~/~3)%%

Nun wählen wir den Schnittpunkt als Stützvektor und die Richtungsvektoren der Gleichungen als Spannvektoren und erhalten die Parameterform der Ebene.

%%E: \overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}%%

   

Die Parameterform lässt sich dann auf die geforderte Darstellungsform umformen.

  

Im Koordinatensystem

Für die Konstruktion brauchen wir zwei Punkte der einen Gleichung und einen Punkt der anderen Gleichung. Hier kann jeder Punkt gewählt werden, doch es ist üblich als einen Punkt den Spannvektor zu nehmen und als den andern zu dem Spannvektor den Richtungsvektor zu addieren:

%%\; v:\;\overrightarrow{ x}=\overrightarrow{ A}+ w\cdot\overrightarrow{ U}\;,\;\; t:\;\overrightarrow{ x}=\overrightarrow{ B}+ s\cdot\overrightarrow{ V}%%

%%\;\;\rightarrow\;\;%% Wir erhalten die Punkte %%A%% aus %%\overrightarrow{ A}%% und %%B%% aus  %%\overrightarrow{ B}%% und %%C%% aus %%\overrightarrow{ C}=\overrightarrow{ A}+\overrightarrow{ U}%%

Nun kann man weiter machen wie bei Ebene aus drei Punkten .

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